[论文解读] Global Symmetry and Maximal Chaos

Indranil Halder|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 53被引用 7

一句话总结

本文将量子系统中全局对称性的混沌界限进行推广，推导出依赖于化学势的修正李雅普诺夫指数界限。对于制备有限电荷的算符，界限保持为 $\lambda_L \leq \frac{2\pi T}{\hbar}$；而对于可制备任意高电荷的算符，界限变为 $\lambda_L \leq \frac{2\pi T}{(1 - |\mu/\mu_c|)\hbar}$，该界限在具有非零旋转化学势的全息二维共形场论中被饱和。

ABSTRACT

In this note we study chaos in generic quantum systems with a global symmetry generalizing seminal work [arXiv : 1503.01409] by Maldacena, Shenker and Stanford. We conjecture a bound on instantaneous chaos exponent in a thermodynamic ensemble at temperature $T$ and chemical potential $μ$ for the continuous global symmetry under consideration. For local operators which could create excitation up to some fixed charge, the bound on chaos (Lyapunov) exponent is independent of chemical potential $λ_L \leq \frac{2 πT}{ \hbar} $. On the other hand when the operators could create excitation of arbitrary high charge, we find that exponent must satisfy $λ_L \leq \frac{2 πT}{(1-|\fracμ{μ_c}|) \hbar} $, where $μ_c$ is the maximum value of chemical potential for which the thermodynamic ensemble makes sense. As specific examples of quantum mechanical systems we consider conformal field theories. In a generic conformal field theory with internal $U(1)$ symmetry living on a cylinder the former bound is applicable, whereas in more interesting examples of holographic two dimensional conformal field theories dual to Einstein gravity, we argue that later bound is saturated in presence of a non-zero chemical potential for rotation.

研究动机与目标

• 将 Maldacena-Shenker-Stanford 的混沌界限推广至具有全局对称性的量子系统。
• 研究守恒电荷的化学势如何影响热力学系综中李雅普诺夫指数。
• 确定当算符可制备任意高电荷激发时，混沌界限是否被修改。
• 检查在具有旋转对称性的全息共形场论中，该界限是否被饱和。
• 建立算符增长、热化过程与量子混沌中复分析技术之间的联系。

提出的方法

• 使用平方换位子 $ C(t) = -\langle [W(t), V(0)]^2 \rangle $ 作为量子混沌的探测器。
• 应用李雅普诺夫指数 $ \lambda_L $ 来量化 $ C(t) $ 在纠缠时间区间 $ t_d < t < t_* $ 内的指数增长。
• 应用复分析工具，特别是 Phragmen-Lindelof 定理与 Schwarz-Pick 引理，推导算符增长的界限。
• 通过共形映射将解析性的半条带区域映射到单位圆盘，以应用最大模原理。
• 推导实轴上函数 $ f(t) $ 的导数界限，从而在小扰动极限下得到 $ |\lambda_L| \leq \frac{2\pi}{\beta} $。
• 考虑两种情形：有限电荷算符（界限与 $ \mu $ 无关）与无限电荷算符（界限依赖于 $ \mu $ 与 $ \mu_c $）。

实验结果

研究问题

• RQ1 全局 U(1) 对称性如何修改热态中量子混沌界限？
• RQ2 化学势对具有守恒电荷系统的李雅普诺夫指数有何影响？
• RQ3 当算符可制备任意高电荷激发时，混沌界限是否改变？
• RQ4 在具有非零旋转化学势的全息共形场论中，该修改后的混沌界限是否可被饱和？
• RQ5 复分析技术如何约束量子系统中时间有序相关函数的生长？

主要发现

• 对于制备有限电荷的算符，李雅普诺夫指数满足 $ \lambda_L \leq \frac{2\pi T}{\hbar} $，且与化学势无关。
• 对于可制备任意高电荷的算符，界限变为 $ \lambda_L \leq \frac{2\pi T}{(1 - |\mu/\mu_c|)\hbar} $，其中 $ \mu_c $ 为临界化学势。
• 当存在非零旋转化学势时，该修改后的界限在与爱因斯坦引力对偶的全息二维共形场论中被饱和。
• 推导依赖于共形映射与 Phragmen-Lindelof 型定理，以在复平面上约束算符增长。
• 即使由于化学势导致纠缠时间缩短，只要系统仍处于定义良好的热力学系综中，该界限依然有效。
• 分析表明，蝴蝶效应与算符增长对全局对称性结构及守恒电荷含量敏感。