[论文解读] Global unique solutions for the inhomogeneous Navier-Stokes equation with only bounded density, in critical regularity spaces

Raphaël Danchin, Shan Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2022

Navier-Stokes equation solutions被引用 1

一句话总结

该论文在二维和三维情形下建立了非齐次不可压缩Navier-Stokes方程解的全局存在性与唯一性，即使初始密度不连续且初始速度仅具有临界正则性亦成立。通过采用时间加权估计、Lorentz空间中的最大正则性以及临界Besov空间中的插值，作者证明了在大密度变化和真空情形下的唯一性，将Fujita-Kato型解扩展至更广范围的初始数据。

ABSTRACT

We here aim at proving the global existence and uniqueness of solutions to the inhomogeneous incompressible Navier-Stokes system in the case where the initial density is discontinuous and the initial velocity has critical regularity. Assuming that the initial density is close to a positive constant, we obtain global existence and uniqueness in the two-dimensional case whenever the initial velocity belongs to some critical homogeneous Besov space (and in small in the three-dimensional case). Next, still in a critical functional framework, we establish a uniqueness statement that is valid in the case of large variations of density with, possibly, vacuum. Interestingly, our result implies that the Fujita-Kato type solutions constructed by P. Zhang in are unique. Our work relies on interpolation results, time weighted estimates and maximal regularity estimates in Lorentz spaces (with respect to the time variable) for the evolutionary Stokes system.

研究动机与目标

• 在初始密度有界且可能不连续的条件下，建立非齐次不可压缩Navier-Stokes系统的全局存在性与唯一性。
• 将唯一性结果扩展至大密度变化及可能存在真空的情形，超越经典非真空假设。
• 利用Lorentz空间与Besov空间建立非齐次Navier-Stokes方程的临界正则性框架。
• 证明Zhang [30] 构造的Fujita-Kato型解在新框架下具有唯一性。
• 通过引入Lorentz空间中Stokes系统的时变加权估计与最大正则性估计，克服基于扰动方法的局限性。

提出的方法

• 对演化Stokes系统，采用时间加权估计与Lorentz空间中的最大正则性估计。
• 利用临界齐次Besov空间中的插值理论控制Navier-Stokes方程中的非线性项。
• 在二维情形下，应用Bony分解处理非线性对流项中的拟积与余项。
• 建立Besov空间中余项算子的新不等式：∥R(u,v)∥_{Ḃ^{-d/p}_{p,∞}} ≲ ∥u∥_{Ḃ^{d/p}_{p,r_1}} ∥v∥_{Ḃ^{-d/p}_{p,r_2}}，其中 1/r₁ + 1/r₂ = 1。
• 利用Helmholtz投影与最大正则性理论，推导速度与压力梯度在Lorentz空间中的估计。
• 定义并利用涉及齐次Besov空间 Ẇ^{2,1}_{p,(q,r)} 的临界函数框架，对速度场采用时间加权范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始密度仅具有有界性且可能不连续时，能否为非齐次Navier-Stokes方程建立全局唯一解？
• RQ2 在临界空间中，确保全局存在性与唯一性所需的最小正则性为何？
• RQ3 能否在不假设密度波动量小的条件下，证明具有大密度变化及可能真空的解的唯一性？
• RQ4 在非齐次情形下，Fujita-Kato型解在更广泛的初始数据条件下是否仍保持唯一性？
• RQ5 如何利用Lorentz空间估计与时间加权范数，将最大正则性理论推广至非齐次Navier-Stokes系统？

主要发现

• 在二维情形下，若初始速度属于 Ẇ^{2,1}_{p,(q,r)}(R²)，其中 1 < p < 2，且初始密度 ρ₀ 有界并接近正常数，则存在全局唯一解。
• 在三维情形下，若初始速度在 Ẇ^{2,1}_{p,(q,r)}(R³) 中范数较小，且初始密度有界，则存在全局唯一解。
• 作者证明了一个关于余项的新不等式：∥R(u,v)∥_{Ḃ^{-1}_{2,∞}(R²)} ≲ log(1 + ∥v∥_{L²}/∥v∥_{H^{-1}}) ∥u∥_{H¹∩L∞} ∥v∥_{H^{-1}}。
• 解框架确保压力梯度 ∇P 属于 L¹(0,T; Ẇ^{d/2-1}_{2,1}(R^d))，且速度 u 属于 C_b([0,T]; Ẇ^{d/2}_{2,1}(R^d))。
• 即使在密度变化较大且包含真空的情形下，唯一性结果依然成立，突破了非真空假设的限制。
• 证明了Zhang [30] 构造的Fujita-Kato型解在临界框架下具有唯一性，解决了其唯一性问题的开放疑问。