[论文解读] Global Upper Expectations for Discrete-Time Stochastic Processes: In Practice, They Are All The Same!

Natan T’Joens, Jasper De Bock|Ghent University Academic Bibliography (Ghent University)|Feb 25, 2021

Risk and Portfolio Optimization参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文证明了三种针对离散时间随机过程的全局上期望模型——测度论型、博弈论型和公理型——在两个广泛领域中完全一致：有限赌博的单调极限以及有下界的博雷尔可测变量。其关键贡献在于，实际上，这些模型在绝大多数现实世界的推断中产生完全相同的结果，从而消除了在它们之间进行选择的必要性。

ABSTRACT

We consider three different types of global uncertainty models for discrete-time stochastic processes: measure-theoretic upper expectations, game-theoretic upper expectations and axiomatic upper expectations. The last two are known to be identical. We show that they coincide with measure-theoretic upper expectations on two distinct domains: monotone pointwise limits of finitary gambles, and bounded below Borel-measurable variables. We argue that these domains cover most practical inferences, and that therefore, in practice, it does not matter which model is used.

研究动机与目标

• 建立三种全局上期望模型——测度论型、博弈论型和公理型——在离散时间随机过程中的数学等价性。
• 确定这些模型一致的尽可能大的随机变量领域，以确保实际相关性。
• 证明该领域涵盖大多数现实世界的推断，例如期望 hitting 时间和时间平均值。
• 通过证明不同解释框架产生完全相同的全局上期望，统一中概率论的理论基础。
• 通过去除拓扑假设并扩大适用范围，将现有结果的适用性扩展到先前工作的范围之外。

提出的方法

• 定义三种全局上期望模型：测度论型（作为概率测度族上的上包络）、博弈论型（作为对冲价格的下确界）和公理型（基于上期望结构性质）。
• 证明博弈论型与公理型模型完全相同，基于先前工作，并将此共同模型与测度论型模型关联起来。
• 通过单调收敛性论证和上鞅性质，在有限赌博的单调极限领域建立等价性。
• 通过容量性和可测性论证，将等价性扩展到有下界的博雷尔可测变量领域，利用与先前工作的关联，应用 Choquet 的容量定理。
• 通过上期望与下期望之间的共轭关系，将结果扩展至双向推断（同时考虑上界和下界）。
• 在附录中提供严格证明，改进早期结果，去除了拓扑约束，并扩大了适用范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 测度论型、博弈论型和公理型的离散时间随机过程的全局上期望是否在实际的随机变量领域中一致？
• RQ2 是否可以在不对局部模型施加强拓扑条件的情况下，建立这些模型之间的等价性？
• RQ3 等价领域是否足够广泛，足以涵盖大多数实际应用中的随机过程推断，如期望 hitting 时间和时间平均值？
• RQ4 这些结果能否扩展至包含条件上期望和下期望？
• RQ5 所提出的模型与有界可测变量的 Daniell-Stone 型上期望之间存在何种关系？

主要发现

• 测度论型、博弈论型和公理型的全局上期望在有限赌博的单调极限领域中在数学上完全相同。
• 这三种模型也在有下界的博雷尔可测变量领域中一致，显著扩大了等价性的适用范围。
• 等价性成立无需对局部模型参数化的拓扑条件施加要求，优于早期依赖此类条件的结果。
• 通过共轭关系，结果可扩展至条件上期望和下期望，涵盖对上下界的同时推断。
• 等价领域包括实际相关的变量，如期望 hitting 时间（类别 (a)）和期望时间平均值（类别 (b)）——这些在先前工作中被排除在外。
• 研究结果统一了中概率论中三种不同的方法，表明在大多数实际应用中，模型选择不会影响结果。