[论文解读] Global weak solutions to the isentropic compressible Navier-Stokes equations with vacuum and unbounded density in a half-plane under Dirichlet boundary conditions

Shuai Wang, Xin Zhong|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2026

Navier-Stokes equation solutions被引用 0

一句话总结

本文证明在半平面上以 Dirichlet 边界条件存在一类弱解的全局存在性，允许真空与无界密度在小初始能量条件下存在。解在 Lions–Feireisl 与 Hoff 框架之间具有中等正则性，并利用 Green 函数技术处理边界问题。

ABSTRACT

We establish the global existence of a class of weak solutions to the isentropic compressible Navier-Stokes equations in a half-plane with Dirichlet boundary conditions, allowing for vacuum both in the interior and at infinity, under a suitably small initial total energy. The solutions constructed here admit unbounded densities and lie in an intermediate regularity regime between the finite-energy weak solutions of Lions-Feireisl and the framework of Hoff. This result generalizes previous works of Hoff (Comm. Pure Appl. Math. 55 (2002), pp. 1365-1407) and Perepelitsa (Arch. Ration. Mech. Anal. 212 (2014), pp. 709-726) concerning discontinuous solutions by allowing vacuum states and unbounded density. Our analysis relies on the Green function method and new estimates involving the specific structure of the equations and the geometry of the half-plane. To the best of our knowledge, this is the first result concerning global weak solutions within Hoff's framework on an unbounded domain that simultaneously accommodates Dirichlet boundary conditions and far-field vacuum. The intermediate-regularity class developed here may be viewed as a natural extension of Hoff's theory, precisely tailored to overcome the two corresponding obstructions: the lack of global space-time control of the effective viscous flux arising from far-field vacuum and the absence of boundary-induced regularity gains in the no-slip setting.

研究动机与目标

• 激发在无边界区域和 Dirichlet 边界条件下研究等熵可压缩 Navier–Stokes 的全局弱解，允许真空的动机。
• 在密度可能无界且内部与无穷远处存在真空的情况下，建立一类弱解的全局存在性结果。
• 建立介于 Lions–Feireisl 与 Hoff 理论之间、适用于半平面域的中等正则性框架。
• 克服边界诱导的正则性缺失与远场衰减的问题，以控制非线性项。
• 提供将 Green 函数分解与密度可积性结合的策略，以获得先验界。

提出的方法

• 在带 Dirichlet 边界条件 的半平面中表述弱解。
• 引入有效粘性通量 F，并利用 Green 函数技术对其进行分解。
• 在中间的 L^p 框架下建立先验估计，其中 P(ρ) ∈ L^q 且 ρ ∈ L^θ。
• 将速度分解为若干分量并利用 L^6 估计来处理非线性项。
• 利用 Zlotnik 不等式在时间上获得 ρ 的上界（在 L^θ 中的均匀性）。
• 通过严格正密度到出现真空的两步极限过程构造全局解。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在半平面、Dirichlet 边界条件和远场真空下构造等熵可压缩 Navier–Stokes 的全局弱解？
• RQ2 是否可能在中间正则性类别内允许内部与无穷远处的真空，同时密度可无界？
• RQ3 如何将 Green 函数方法与 L^p 密度框架结合起来，在无滑移边界条件下控制有效粘性通量与非线性项？
• RQ4 为了封闭先验估计并实现全局存在，需要对压力和密度的何种正则性与可积性？

主要发现

• 在带 Dirichlet 边界条件的半平面问题下，初始总能量较小时存在全局弱解。
• 所构造的解允许密度无界，且处于 Lions–Feireisl 与 Hoff 之间的中等正则性区间。
• 通过 Green 函数对有效粘性通量的分解在 Dirichlet 边界条件下获得关键估计。
• 证明压力 P(ρ) 属于 L^q，适用于改进对远场行为的控制。
• 利用从正密度近似到真空的两步极限过程获得全局存在性。