[论文解读] Global well-posedness and large time behavior of strong solution to a kinetic-fluid model

Fucai Li, Yanmin Mu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2015

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 33被引用 5

一句话总结

该论文在三维空间中建立了通过密度依赖摩擦力耦合的Vlasov-Fokker-Planck与可压缩Navier-Stokes方程的动能-流体模型强解的全局适定性。证明了在全空间中解代数收敛至平衡态，在周期域中则在小初值扰动下指数收敛至平衡态。

ABSTRACT

This paper is concerned with a kinetic-fluid model describing the evolutions of disperse two-phase flows. The model consists of the Vlasov-Fokker-Planck equations for the particles (disperse phase) coupled with the compressible Navier-Stokes equations for the fluid (fluid phase) through the friction force. Our friction force depends on the density, which is different from many previous studies on kinetic-fluid models. The global well-posedness of strong solution in the three-dimensional whole space is established when the initial data is a small perturbation of some given equilibrium. Moreover, the algebraic rate of convergence of solution toward the equilibrium state is obtained. For the periodic domain the same global well-posedness result still holds while the convergence rate is exponential.

研究动机与目标

• 分析分散两相流的动能-流体模型中强解的全局存在性与长时间行为。
• 通过依赖于粒子密度的摩擦力，解决粒子相与流体相之间的耦合问题，此方式与先前模型不同。
• 在全空间与周期域中建立解向平衡态的收敛速率。

提出的方法

• 构建粒子的Vlasov-Fokker-Planck方程与流体的可压缩Navier-Stokes方程的耦合系统，通过依赖于密度的摩擦力连接。
• 采用能量估计与Sobolev嵌入技术，控制解框架中的非线性项。
• 利用谱分析与衰减估计，推导周期域设定下的收敛速率。
• 应用小初值理论，证明全空间中强解的全局存在性与稳定性。
• 利用加权能量空间与时间加权范数，捕捉全空间中的代数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三维空间中，耦合的动能-流体系统在何种条件下存在唯一的全局强解？
• RQ2 依赖于粒子密度的摩擦力如何影响解的长时间行为？
• RQ3 在全空间与周期域中，解向平衡态的收敛速率分别是多少？
• RQ4 当初始数据为平衡态的小扰动时，解是否仍能保持全局适定？
• RQ5 全空间（代数衰减）与周期域（指数衰减）中的衰减速率有何差异？

主要发现

• 当初始数据为平衡态的小扰动时，三维全空间中强解的全局适定性得以建立。
• 在全空间中，解以特定衰减速率代数收敛至平衡态，该速率由能量估计导出。
• 在周期域中，解以指数速度快速收敛至平衡态，表明更强的稳定性。
• 摩擦力对粒子密度的依赖引入了一种与常力模型不同的新型耦合机制。
• 分析确认了在最小正则性假设下，全动能-流体系统的稳定性与长时间行为。