[论文解读] Global Well-posedness for The 2D Boussinesq System Without Heat Diffusion and With Either Anisotropic Viscosity or Inviscid Voigt-$α$ Regularization

Adam Larios, Evelyn Lunasin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2010

Navier-Stokes equation solutions参考文献 36被引用 31

一句话总结

本文在兩種設定下建立了無熱擴散的 2D Boussinesq 系統的全域適定性：(1) 異向黏性（僅水平方向黏性），以及 (2) 無黏 Voigt-α 正則化。本文提出一種創新之唯一性證明方法，運用 Yudovich 型技巧與變換 θ = Δξ，避開雙線性積分微分計算。主要貢獻為在初始資料之正則性假設最小的情況下，實現全域存在性與唯一性，並透過 Voigt 正則化提出新的爆破準則。

ABSTRACT

We establish global existence and uniqueness theorems for the two-dimensional non-diffusive Boussinesq system with viscosity only in the horizontal direction, which arises in Ocean dynamics. This work improves the global well-posedness results established recently by R. Danchin and M. Paicu for the Boussinesq system with anisotropic viscosity and zero diffusion. Although we follow some of their ideas, in proving the uniqueness result, we have used an alternative approach by writing the transported temperature (density) as $θ= Δξ$ and adapting the techniques of V. Yudovich for the 2D incompressible Euler equations. This new idea allows us to establish uniqueness results with fewer assumptions on the initial data for the transported quantity $θ$. Furthermore, this new technique allows us to establish uniqueness results without having to resort to the paraproduct calculus of J. Bony. We also propose an inviscid $α$-regularization for the two-dimensional inviscid, non-diffusive Boussinesq system of equations, which we call the Boussinesq-Voigt equations. Global regularity of this system is established. Moreover, we establish the convergence of solutions of the Boussinesq-Voigt model to the corresponding solutions of the two-dimensional Boussinesq system of equations for inviscid flow without heat (density) diffusion on the interval of existence of the latter. Furthermore, we derive a criterion for finite-time blow-up of the solutions to the inviscid, non-diffusive 2D Boussinesq system based on this inviscid Voigt regularization. Finally, we propose a Voigt-$α$ regularization for the inviscid 3D Boussinesq equations with diffusion, and prove its global well-posedness. It is worth mentioning that our results are also valid in the presence of the $β$-plane approximation of the Coriolis force.

研究动机与目标

• 建立僅具水平方向黏性之 2D 無擴散 Boussinesq 系統之全域存在性與唯一性，並在初始資料之假設更少的情況下，超越先前成果。
• 透過設定 θ = Δξ 並適應 Yudovich 對 2D Euler 方程之方法，發展一種新唯一性證明技術，避開對雙線性積分微分計算之依賴。
• 引入並分析 Boussinesq-Voigt 模型——即無擴散 2D Boussinesq 系統之無黏 α-正則化——證明其全域正則性。
• 基於 Voigt 正則化系統之解收斂性，推導原始無黏、無擴散 2D Boussinesq 系統之有限時間爆破準則。
• 將 Voigt 正則化方法延伸至具擴散之 3D Boussinesq 方程，並在該情況下證明全域適定性。

提出的方法

• 將 Boussinesq-Voigt 方程引入為 2D 無擴散 Boussinesq 系統之無黏 α-正則化，於動量方程中加入 −α²Δu 項。
• 透過變換 θ = Δξ，將溫度方程重構為類似流函數之變數，使 Yudovich 型能量估計得以應用。
• 對兩組解之差應用 Grönwall 不等式，結合速度與變換後之溫度變數 ξ 的能量估計，以證明唯一性。
• 於 L^p 與 L^∞ 空間中使用先驗估計，對溫度之界不依賴正則化參數 α。
• 運用 Hopf-Stampacchia 技巧與 Brezis-Gallouët 型不等式，於 α → 0 時控制速度與溫度之 L^∞ 範數。
• 建立 Voigt 正則化系統之解在原始系統古典解存在區間內，收斂至原始系統之解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在初始溫度之正則性假設最小之情況下，是否可對僅具水平黏性之 2D 無擴散 Boussinesq 系統建立全域適定性？
• RQ2 能否發展一種避開雙線性積分微分計算之新唯一性證明方法，改而依賴 Yudovich 型論證與 θ = Δξ 變換？
• RQ3 Voigt 正則化之 Boussinesq 系統（Boussinesq-Voigt）是否具有全域解？其解在 α → 0 時是否收斂至原始系統之古典解？
• RQ4 Voigt 正則化框架能否用於推導原始無黏、無擴散 2D Boussinesq 系統之有限時間爆破準則？
• RQ5 在 Voigt 正則化下，具擴散之 3D Boussinesq 方程之全域適定性是否仍成立？

主要发现

• 即使初始溫度 θ₀ ∈ L^∞，且不需更高階 Sobolev 正則性，仍可對僅具水平黏性（ν_x > 0, κ = 0）之 2D 無擴散 Boussinesq 系統建立全域存在性與唯一性。
• 透過使用變換 θ = Δξ 與 Yudovich 方法，唯一性證明避開雙線性積分微分計算，使初始資料之假設更為寬鬆。
• Boussinesq-Voigt 模型（P^α_{0,0}）對所有 α > 0 均為全域適定，其解在時間與空間範數上均一致有界，且不依賴 α。
• Boussinesq-Voigt 模型之解在 α → 0 時，於原始 2D 無擴散系統之古典解存在區間內，收斂至該系統之古典解。
• 推導出有限時間爆破準則：若 ∇θ 的 L^∞ 範數增長過快，原始系統可能爆破，此現象可透過 Voigt 正則化系統偵測。
• Voigt 正則化方法可延伸至具擴散之 3D Boussinesq 方程，並在該情況下證明正則化系統之全域適定性。