[论文解读] Global well-posedness for two-dimensional flows of viscoelastic rate-type fluids with stress diffusion

Miroslav Bulíček, Josef Málek+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2022

Rheology and Fluid Dynamics Studies参考文献 28被引用 8

一句话总结

本文通过使用广义客观导数和结合Oldroyd-B与Giesekus特性的稳健本构模型，建立了具有应力扩散的粘弹性速率型流体在二维流动中的全局适定性。证明了在任意L²空间初始数据和外力下，存在唯一且全局定义的弱解，且当初始数据足够光滑时，应力张量B的完整正则性和正定性得以保持。

ABSTRACT

We consider the system of partial differential equations governing two-dimensional flows of a robust class of viscoelastic rate-type fluids with stress diffusion, involving a general objective derivative. The studied system generalizes the incompressible Navier--Stokes equations for the fluid velocity $v$ and pressure $p$ by the presence of an additional term in the constitutive equation for the Cauchy stress expressed in terms of a positive definite tensor $B$. The tensor $B$ evolves according to a diffusive variant of an equation that can be viewed as a combination of corresponding counterparts of Oldroyd-B and Giesekus models. Considering spatially periodic problem, we prove that for arbitrary initial data and forcing in appropriate $L^2$ spaces, there exists a unique globally defined weak solution to the equations of motion, and more regular initial data and forcing launch a more regular solution with $\bs B$ positive definite everywhere.

研究动机与目标

• 建立具有应力扩散的粘弹性速率型流体在二维流动中的全局适定性。
• 将复杂流体模型的数学基础拓展至纳维-斯托克斯方程之外，尤其针对大初始数据和长时间行为。
• 在L²空间中的一般初始数据和外力下，证明弱解的存在性、唯一性及完整正则性。
• 当初始数据光滑时，确保张量B（用于建模弹性能量）的正定性在全局范围内得以保持。
• 将先前在三维情形下的结果推广至二维情形，实现更强的正则性与无需小量假设的全局存在性。

提出的方法

• 在二维环面T²上建立系统，采用空间周期性边界条件。
• 使用广义客观时间导数⋄B，其包含上对流麦克斯韦、Jaumann–Zaremba及Gordon–Schowalter导数作为特例。
• 采用系统的ǫ-正则化版本以处理非线性性，并确保B的可逆性。
• 应用Aubin–Lions引理与Banach–Alaoglu定理，提取近似解的强收敛与弱收敛。
• 为正则化系统推导能量恒等式（A.10），确保能量与耗散项的强制性。
• 利用Fatou引理与ρǫ(Bǫ) → 1 a.e.的逐点收敛性，完成极限过程并恢复原始系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有应力扩散和广义客观导数的二维粘弹性速率型流体，是否存在全局定义的弱解？
• RQ2 当初始数据光滑时，应力张量B的完整正则性与正定性能否在所有时间内保持？
• RQ3 在任意L²初始数据与外力下，解是否唯一且稳定？
• RQ4 在β ∈ (0,1)的二维情形下，能量平衡与强制性结构能否保持，以确保数学上的稳健性？
• RQ5 该模型是否在确保全局适定性的同时，仍保留应力松弛与剪切带化等物理特性？

主要发现

• 对于所有属于L²的初始数据及属于L²(0,T; H⁻¹)的外力，存在唯一且全局定义的弱解，且无需小量假设。
• 解满足v ∈ C([0,T]; L²)，B ∈ C([0,T]; L²)，且∇v, ∇B ∈ L²(0,T; L²)，确保了强正则性。
• 当初始数据光滑时，由于ǫ-正则化与极限过程，张量B在几乎所有时间点上保持正定。
• 正则化系统的能量恒等式（A.10）成立，强制性耗散项确保了稳定性与收敛性。
• 极限解(v,B)在弱意义下满足原始系统（2.1）–（2.2），所有相关项均实现收敛。
• 该模型包含Oldroyd-B、Giesekus与Johnson–Segalman模型的扩散变体作为特例，且对所有情形均建立了全局适定性。