[论文解读] Global well-posedness of 3-D anisotropic Navier-Stokes system with large vertical viscous coefficient

Yi Liu, Ping Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2017

Navier-Stokes equation solutions被引用 4

一句话总结

本文在垂直粘性系数 ν 足够大的情况下，建立了三维各向异性纳维-斯托克斯方程组的全局适定性，即使初始数据在 BMO⁻¹ 中不很小（尤其在水平分量上），也成立。通过使用各向异性的 Littlewood-Paley 理论和各向异性的 Sobolev 空间中的能量估计，作者证明了大垂直粘性可抑制不稳定性，从而确保在临界空间中任意初始数据下的解的全局存在性与唯一性。

ABSTRACT

In this paper, we first prove the global well-posedness of 3-D anisotropic Navier-Stokes system provided that the vertical viscous coefficient of the system is sufficiently large compared to some critical norm of the initial data. Then we shall construct a family of initial data, $u_{0,ν},$ which vary fast enough in the vertical variable and which are not small in the space, $BMO^{-1}.$ Yet $u_{0,ν}$ generates a unique global solution to the classical 3-D Navier-Stokes system provided that $ν$ is sufficiently large.

研究动机与目标

• 在垂直粘性系数 ν 足够大的情况下，建立三维各向异性纳维-斯托克斯方程组的全局适定性。
• 扩展全局解存在的初始数据范围，包括在 BMO⁻¹ 或 L³ 范数中不很小的初始数据。
• 证明即使初始速度的水平分量不很小，大垂直粘性仍可稳定解。
• 构造一族在垂直方向快速振荡的初始数据，即使在 ν 较大时仍能产生全局解。
• 在现有小初值结果的基础上进行改进，表明大 ν 可替代临界范数中的小量假设。

提出的方法

• 使用各向异性的 Littlewood-Paley 理论，将速度场分解为水平和垂直频率分量。
• 定义具有不同水平与垂直方向正则性的各向异性的 Sobolev 空间 H^{s,s'}，以捕捉各向异性的耗散效应。
• 在 H^{2/3,-1/6} 及相关范数下，对垂直速度分量 v³ 推导能量估计，利用大垂直粘性 ν 的优势。
• 利用系统在 (1.2) 下的标度不变性，识别临界空间，并将范数与爆破准则关联。
• 应用基于 v³ 的 L^p([0,T*]; H^{1/2+2/p}) 范数的爆破准则，以控制解的寿命。
• 通过在 ∇ₕv₀³ 和 ∂₃v₀³ 属于 L³/² 的小量条件下构造一个Bootstrap论证，使能量估计得以闭合。

实验结果

研究问题

• RQ1 当垂直粘性 ν 足够大时，是否可在初始数据在标准临界范数中不很小的情况下，建立三维各向异性纳维-斯托克斯方程组的全局适定性？
• RQ2 大垂直粘性在多大程度上可补偿初始数据中较大的水平梯度？
• RQ3 是否可能构造出在 BMO⁻¹ 中不很小但因强垂直耗散而仍能产生全局解的初始数据？
• RQ4 在大 ν 参数下，速度场的第三分量是否控制了解的正则性？
• RQ5 基于 v³ 在 H^{1/2+2/p} 中的 L^p 范数的爆破准则，是否可用于证明当 ν 较大时解的全局存在性？

主要发现

• 当垂直粘性 ν 足够大时，对任意属于 BMO⁻¹ 的初始数据，三维各向异性纳维-斯托克斯方程组的全局适定性得以建立。
• 本文构造了一族在垂直方向快速变化的初始数据 u₀,ν，其在 BMO⁻¹ 中不很小，但在 ν 足够大时仍能产生唯一的全局解。
• 即使初始数据在 L³ 或 H^{1/2} 中不很小，只要垂直粘性足够大，解仍保持全局性。
• 关键估计表明，H^{2/3,-1/6} 中垂直速度分量的 L² 范数及其耗散能量，受 ∇ₕv₀³ 在 L³/² 和 ∂₃v₀³ 在 L³/² 中的范数控制，且随 ν 增大而衰减。
• 当满足小量条件时，对 p ∈ (4,6) 有 ∫₀^{T*} ‖v³(t)‖_{H^{1/2+2/p}}^p dt = ∞ 的爆破准则被否定，从而证明 T* = ∞。
• 该结果在两个条件下成立：(1) ∇ₕv₀³ 和 ∂₃v₀³ 在 L³/² 中的小量性；(2) 小量条件 (LABEL:smallcondition) 中的 c₁ 和 c₂ 的小量性，它们与临界范数中初始数据的大小相关。