[论文解读] Global well-posedness of strong solutions to a tropical climate model

Jinkai Li, Edriss S. Titi|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文建立了从原始方程推导出的粘性热带气候模型强解的全局适定性，该模型包含直接受压和第一斜压速度模态，并与中对流层温度相耦合。通过引入一种伪斜压速度和一种类似有效粘性通量的辅助函数，作者克服了温度方程中缺乏扩散性的难题，并在低于标准方法的较低层次能量估计下，证明了解的存在性、唯一性以及全局正则性。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Cauchy problem to the TROPIC CLIMATE MODEL derived by Frierson-Majda-Pauluis in [Comm. Math. Sci, Vol. 2 (2004)] which is a coupled system of the barotropic and the first baroclinic modes of the velocity and the typical midtropospheric temperature. The system considered in this paper has viscosities in the momentum equations, but no diffusivity in the temperature equation. We establish here the global well-posedness of strong solutions to this model. In proving the global existence of strong solutions, to overcome the difficulty caused by the absence of the diffusivity in the temperature equation, we introduce a new velocity $w$ (called the pseudo baroclinic velocity), which has more regularities than the original baroclinic mode of the velocity. An auxiliary function $ϕ$, which looks like the effective viscous flux for the compressible Navier-Stokes equations, is also introduced to obtain the $L^\infty$ bound of the temperature. Regarding the uniqueness, we use the idea of performing suitable energy estimates at level one order lower than the natural basic energy estimates for the system.

研究动机与目标

• 建立具有粘性动量方程但温度方程中无扩散性的热带气候模型强解的全局适定性。
• 通过引入具有更高正则性的新伪斜压速度，应对温度方程中缺乏正则化效应的挑战。
• 构建一种类似于可压缩N-S方程中有效粘性通量的新辅助函数，以控制温度的L∞范数。
• 在低于自然能量框架的较低正则性层次上，通过能量估计证明唯一性。
• 拓展对具有部分粘性且无扩散性条件下原始类型方程全局存在性的理解。

提出的方法

• 引入伪斜压速度 $ w $ 以增强正则性，并规避温度方程中缺乏扩散性的问题。
• 定义一种类似于可压缩N-S方程中有效粘性通量的辅助函数 $ \theta $，以控制温度的 $ L^\infty $ 范数。
• 在较低正则性层次（低于基本能量层次一个阶）进行能量估计，以建立唯一性。
• 使用Hölder、Ladyzhenskaya、Gagliardo-Nirenberg和Young不等式来控制能量估计中的非线性项。
• 将Gronwall不等式应用于所得微分不等式，以证明解的全局存在性与有界性。
• 结合速度与温度的 $ H^1 $ 估计以及 $ L^\infty $ 控制，完成能量估计的闭合。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有粘性动量方程但温度方程中无扩散性的热带气候模型，其全局强解是否存在？
• RQ2 当缺乏扩散正则化时，如何控制温度的 $ L^\infty $ 范数？
• RQ3 可引入何种新型速度或辅助变量以改善正则性并闭合能量估计？
• RQ4 当能量估计在低于标准框架的较低正则性层次上进行时，强解的唯一性是否仍可实现？
• RQ5 仅存在水平粘性是否足以防止此类气候模型在有限时间内爆破？

主要发现

• 对于初始数据 $ (u_0, v_0, \theta_0) \in H^1 \times H^1 \times L^\infty $ 且满足 $ \text{div}\,u_0 = 0 $，系统在 $ H^1 \times H^1 \times L^\infty $ 中存在唯一的全局强解。
• 温度 $ \theta $ 的 $ L^\infty $ 范数通过一个辅助函数 $ \phi $ 得到控制，该函数起到有效粘性通量的类比作用。
• 伪斜压速度 $ w $ 的构造使其正则性高于原始斜压速度 $ v $，从而实现对非线性项的更好控制。
• 通过在低于自然 $ H^1 $ 框架的较低正则性层次上使用能量估计证明唯一性，避免了对高阶估计的需求。
• 解在所有时间内的 $ H^1 $-范数保持全局有界，其增长受Gronwall型估计控制。
• 由于粘性项的结构特性以及所引入的新泛函，即使缺乏温度扩散性，也不会破坏全局适定性。