[论文解读] Global Well-Posedness with Large Oscillations and Vacuum to the Three-Dimensional Equations of Compressible Nematic Liquid Crystal Flows

Jing Li, Zhonghai Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 34被引用 26

一句话总结

该论文在初始能量较小但初始扰动较大的条件下，建立了三维可压缩向列型液晶流方程在大初始振荡和真空条件下的全局经典解的存在性与唯一性。证明了即使初始密度在大范围空间区域（包括紧支集）上为零，解仍保持光滑且全局适定，并表明解随时间趋于平衡态。

ABSTRACT

This paper is concerned with the three-dimensional equations of a simplified hydrodynamic flow modeling the motion of compressible, nematic liquid crystal materials. The authors establish the global existence of classical solution to the Cauchy problem with smooth initial data which are of small energy but possibly large oscillations with constant state as far-field condition which could be either vacuum or non-vacuum. The initial density is allowed to vanish and the spatial measure of the set of vacuum can be arbitrarily large, in particular, the initial density can even have compact support. As a byproduct, the large-time behavior of the solution is also studied.

研究动机与目标

• 建立三维可压缩向列型液晶流方程在大初始振荡和真空条件下的全局经典解。
• 分析当初始密度可在任意空间集合上消失（包括紧支集）时解的行为。
• 研究解的长时间行为，证明当时间趋于无穷时解收敛至平衡态。
• 在最小正则性和能量假设下，将适定性理论扩展至远场状态为真空或非真空的情形。

提出的方法

• 将简化的Ericksen-Leslie系统表述为密度、速度和取向场的耦合双曲-抛物系统。
• 假设初始能量较小，但允许大振荡和真空，并设定远场条件趋于常数状态。
• 采用能量估计及高阶L^p和L^∞范数估计以控制非线性项并防止爆破。
• 利用加权能量估计和插值不等式控制梯度及高阶导数的增长。
• 应用连续性方法和Bootstrap论证将局部解延拓至全局时间。
• 通过能量衰减估计和关键范数的时间可积性分析解的长时间衰减行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在初始振荡大且存在真空的条件下，三维可压缩向列型液晶流是否可能存在全局经典解？
• RQ2 当初始密度在大范围或紧致集合上消失时，何种条件可保证系统的全局适定性？
• RQ3 当时间趋于无穷时，解的行为如何，特别是在存在真空的情况下？
• RQ4 即使初始振荡大且存在真空，解是否仍能衰减至平衡态？
• RQ5 初始能量的微小性在即使存在大振荡时仍能保证全局存在性的机制是什么？

主要发现

• 在初始能量较小的条件下，三维可压缩向列型液晶流的全局经典解存在，无论初始振荡多大，只要远场状态为常数。
• 初始密度可在任意空间集合上消失（包括紧支集），解仍保持全局适定。
• 解衰减至平衡态：密度在任意由初始条件决定的p范围内收敛至远场密度的L^p范数。
• 速度梯度和取向场梯度在L^2及更高阶L^p范数下随时间趋于无穷而趋于零。
• 速度梯度的L^2范数趋于零，取向场的高阶范数亦衰减，表明系统趋于平衡态。
• 关键能量项的时间可积性确保了解收敛至常数状态，从而证实了长期稳定性。