[论文解读] Globally Conservative, Hybrid Self-Adjoint Angular Flux and Least-Squares Method Compatible with Void

Vincent Labouré, Ryan G. McClarren+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出了一种全局守恒、适用于空腔区域的二阶输运方法，通过结合自伴随角通量（SAAF）与保守最小二乘法（CLS）公式实现。在非空腔区域使用SAAF，在空腔区域采用修正的LS公式以恢复全局守恒，仅在空腔区域出现对称性损失。该方法在$P_N$和$S_N$离散化下均经过验证，相较于标准LS方法和SAAF–VT方法，在$k$-本征值问题和空腔主导问题中表现出更优的精度与守恒性。

ABSTRACT

In this paper, we derive a method for the second-order form of the transport equation that is both globally conservative and compatible with voids, using Continuous Finite Element Methods (CFEM). The main idea is to use the Least-Squares (LS) form of the transport equation in the void regions and the Self-Adjoint Angular Flux (SAAF) form elsewhere. While the SAAF formulation is globally conservative, the LS formulation need a correction in void. The price to pay for this fix is the loss of symmetry of the bilinear form. We first derive this Conservative LS (CLS) formulation in void. Second we combine the SAAF and CLS forms and end up with an hybrid SAAF-CLS method, having the desired properties. We show that extending the theory to near-void regions is a minor complication and can be done without affecting the global conservation of the scheme. Being angular discretization agnostic, this method can be applied to both discrete ordinates (SN) and spherical harmonics (PN) methods. However, since a globally conservative and void compatible second-order form already exists for SN (Wang et al. 2014), but is believed to be new for PN, we focus most of our attention on that latter angular discretization. We implement and test our method in Rattlesnake within the Multiphysics Object Oriented Simulation Environment (MOOSE) framework. Results comparing it to other methods are presented.

研究动机与目标

• 开发一种既全局守恒又兼容空腔区域的二阶输运方法，以解决现有SAAF与LS公式存在的局限性。
• 解决标准最小二乘法（LS）在空腔区域缺乏全局守恒的问题，该问题会降低$k$-本征值问题的精度。
• 将方法扩展至具有恒定截面的近空腔区域，同时保持全局守恒。
• 实现与$P_N$和$S_N$角向离散化的兼容性，尤其填补$P_N$方法的空白。
• 在Rattlesnake框架中实现并验证混合SAAF–CLS方法，基于MOOSE平台，与参考解及现有方法进行比较。

提出的方法

• 将计算区域划分为空腔区域（$\mathcal{D}_0$）与非空腔区域（$\mathcal{D}_1$），在$\mathcal{D}_1$中使用SAAF，在$\mathcal{D}_0$中使用修正的LS公式。
• 通过在LS形式中添加非对称校正项，推导出空腔区域中的保守最小二乘法（CLS）公式，以恢复全局守恒，校正LS形式中的离散化误差。
• 混合SAAF–CLS变分公式通过引入一个缩放参数，使界面项消失，从而保持全局守恒。
• 通过将近空腔区域视为恒定截面区域，并对LS公式应用修正校正项，将方法推广至近空腔区域。
• 该方法与角向离散化方式无关，支持$S_N$与$P_N$方法，已在MOOSE框架下的Rattlesnake代码中实现。
• 通过精心设计的变分公式，即使由于空腔校正导致双线性形式失去对称性，也能保持全局守恒。

实验结果

研究问题

• RQ1 当使用$P_N$角向离散化时，能否开发一种既全局守恒又兼容空腔区域的二阶输运方法，尽管现有方法因病态性而失效？
• RQ2 如何在不牺牲稳定性或计算效率的前提下，校正标准LS公式在空腔区域的非守恒性？
• RQ3 通过适当缩放结合SAAF与CLS公式，是否能确保在空腔与非空腔区域交界面处保持全局守恒？
• RQ4 在$k$-本征值问题与空腔主导问题中，混合SAAF–CLS方法相较于LS–$P_N$、LS–$S_N$与SAAF–VT–$S_N$方法的性能如何？
• RQ5 该方法能否推广至具有均匀截面的近空腔区域，同时保持全局守恒与精度？

主要发现

• 保守最小二乘法（CLS）公式在空腔区域成功恢复了全局守恒，标量通量误差随网格与角向细化而减小，尤其在$P_N$与$S_N$方法中表现显著。
• SAAF–CLS–$P_N$方法在最细网格下首个体素处的误差低于$10^{-2}$ cm⁻²s⁻¹，与SAAF–VT–$S_N$方法相当。
• SAAF–CLS–$S_N$方法由于通量项中较少的非对角耦合项，相比$P_N$方法具有显著更低的计算成本。
• 在全局守恒性与精度方面，该方法优于标准LS–$P_N$与LS–$S_N$方法，尤其在存在大空腔的$k$-本征值问题中表现更优。
• 混合SAAF–CLS方法在近空腔区域也保持了全局守恒，结果与SAAF–VT–$S_N$方法相当，验证了广义校正项的有效性。
• Hypre BoomerAMG预条件器对SAAF–VT–$S_N$方法的效率低于对SAAF–CLS–$S_N$方法，可能是因为空腔区域中非零对角项在网格细化下仍持续存在。