[论文解读] Globally generated vector bundles with $c_1 = 5$ on $\mathbb{P}^3$

Cristian Anghel, Iustin Coandă+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文对 $\mathbb{P}^3$ 上满足 $c_1 = 5$ 的全局生成向量丛进行了分类，将问题约化为分类满足 $c_1(F) = -1$ 且 $2 \leq c_2(F) \leq 4$ 的稳定秩 3 丛 $F$，使得 $F(2)$ 全局生成。关键结果是对除 $(c_2, c_3) = (12, 0)$ 和 $(13, 5)$ 之外的所有此类丛实现了完整分类，提供了显式的幕描述和族结构。

ABSTRACT

We provide a classification of globally generated vector bundles with $c_1 = 5$ on the projective 3-space. The classification is complete (except for one case) but not as detailed as the corresponding classification in the case $c_1 = 4$ from our paper [Memoirs A.M.S., Vol. 253, No. 1209 (2018), also arXiv:1305.3464]. We determine, at least, the pairs of integers $(a , b)$ for which there exist globally generated vector bundles on the projective 3-space with Chern classes $c_1 = 5$, $c_2 = a$, $c_3 = b$ (except for the case $(12 , 0)$ and the complementary case $(13 , 5)$ which remain undecided), we describe the Horrocks monads of these vector bundles and we organize them into several families with irreducible bases. We use some of the results from our paper [arXiv:1502.05553] (for which we give, however, a direct self-contained proof in one of the appendices of the present paper) to reduce the problem to the classification of stable rank 3 vector bundles $F$ with $c_1(F) = -1$, $2 \leq c_2(F) \leq 4$, having the property that $F(2)$ is globally generated. We use, then, the spectrum of such a bundle to get the necessary cohomological information. Some of the constructions appearing in the present paper are used (and reproduced, for the reader's convenience) in another paper of ours [arXiv:1711.06060] in which we provide an alternative to Chang and Ran's proof of the unirationality of the moduli spaces of curves of degree at most 13 from [Invent. Math. 76 (1984), 41--54].

研究动机与目标

• 对 $\mathbb{P}^3$ 上满足标准上同调消去与稳定性假设的全局生成向量丛，其 $c_1 = 5$，进行分类。
• 将分类问题约化为研究满足 $c_1(F) = -1$ 且 $2 \leq c_2(F) \leq 4$ 的稳定秩 3 向量丛 $F$，使得 $F(2)$ 全局生成。
• 确定所有满足此类丛存在的 $(c_2, c_3)$ 对，除 $(12, 0)$ 与 $(13, 5)$ 之外。
• 描述这些丛的 Horrocks 幕结构，并将它们组织为具有不可约基的族。

提出的方法

• 通过 $r-3$ 个一般全局截面将秩-$r$ 丛约化为秩 3 丛 $E'$，再通过归一化得到 $F := E'(-2)$，满足 $c_1(F) = -1$。
• 应用 Okonek、Spindler 与 Coandä 开发的稳定秩 3 丛谱的上同调数据。
• 利用 Serre 的扩张方法与瞬子及联络理论的辅助结果，分析丛的结构。
• 使用 Horrocks 幕构造来描述丛的上同调与几何性质。
• 应用 Ferrand 关于联络下解析的结论，推导出相关曲线理想层的幕结构。
• 在附录中提供关于满足 $\mathrm{H}^0(E(-2)) \neq 0$ 的丛结构的关键结果的自-contained 证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 $(c_2, c_3)$ 对作为 $\mathbb{P}^3$ 上满足 $c_1 = 5$ 的不可约全局生成向量丛的陈类出现？
• RQ2 此类丛的 Horrocks 幕结构为何？如何将它们组织为具有不可约基的族？
• RQ3 分类如何约化为研究满足 $c_1(F) = -1$ 且 $2 \leq c_2(F) \leq 4$ 的稳定秩 3 丛 $F$，使得 $F(2)$ 全局生成？
• RQ4 $\mathrm{H}^0(E(-2)) = 0$ 条件在简化分类中起什么作用？
• RQ5 分类中仍有哪些情况未解决？原因是什么？

主要发现

• 对于所有满足 $c_2 \leq 12$ 的 $(c_2, c_3)$ 对，分类是完整的，除了 $(12, 0)$ 及其对偶情形 $(13, 5)$，这两个情形仍为开放问题。
• 当 $c_2 = 8$，$c_3 = 0$ 时，丛同构于 $G(3)$，其中 $G$ 是满足 $c_1(G) = -1$，$c_2(G) = 2$，且 $\mathrm{H}^i(G^\vee) = 0$（$i = 0,1$）的稳定秩 2 丛。
• 丛的 Horrocks 幕被显式描述，且丛被组织为具有不可约基的族。
• 本文在附录中提供了关于满足 $\mathrm{H}^0(E(-2)) \neq 0$ 的丛结构的自-contained 证明，确认此类丛要么可分解，要么同构于 $G(3)$。
• 分类依赖于满足 $c_1 = -1$ 且 $c_2 \in \{2,3,4\}$ 的稳定秩 3 丛的谱，以及 $F(2)$ 全局生成的条件。
• 结果被应用于另一项研究，为次数不超过 13 的曲线模空间的有理连通性提供了替代证明。