[论文解读] Globally Hyperbolic Lorentzian Manifolds with Special Holonomy Groups

Yaroslav Bazaikin|ArXiv.org|Sep 20, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文通過利用仿射部分的正交部分，即作為黎曼流形的 holonomy 群，構造具有特殊 holonomy 群的全局雙曲洛倫茲流形。關鍵結果證明：對於任何不包含秩 >1 的凱勒對稱空間共軛表示的正交部分，存在具有相應特殊 holonomy 群的全局雙曲洛倫茲流形，從而解決了洛倫茲幾何中特殊 holonomy 的全局實現問題。

ABSTRACT

We prove that each special Lorentzian holonomy group (with the exception of those including the isotropy groups of Kähler symmetric spaces with rank greater than one) can be realized as the holonomy group of a globally hyperbolic Lorentzian manifold.

研究动机与目标

• 解決洛倫茲幾何中構造具有特殊 holonomy 群的全局雙曲洛倫茲流形的開放問題。
• 將特殊 holonomy 代數的局部實現擴展至全局、因果性良好的時空。
• 基於其正交部分，建立特殊洛倫茲 holonomy 群的全局存在性結果。
• 闡明正交部分在決定此類時空全局結構中的作用。
• 驗證所構造的度量滿足強因果性與全局雙曲性條件。

提出的方法

• 構造從一個其 holonomy 群 H 為期望的洛倫茲 holonomy 群 G 的正交部分的黎曼流形開始。
• 在乘積空間 ℝ²⁺ⁿ⁻² × Mⁿ⁰ × Cₘ₁ × ⋯ × Cₘᵣ 上構造洛倫茲度量，其中度量結構由依賴坐標與黎曼度量的函數 F 定義。
• 透過分析非類空曲線及其在 ℝ² 上的投影，證明度量為穩定因果與強因果。
• 透過利用由微分不等式導出的 F 的界，證明因果鑽石 J⁺(p₁) ∩ J⁻(p₂) 對任意 p₁, p₂ 為緊緻，從而證明全局雙曲性。
• 證明依賴於沿因果曲線的 F 增長的微分估計，涉及 |dF/dξ| 與 |dF/dη|，進而實現對 F 的漸近控制。
• 最終證明時空為全局雙曲性，因其為一全局雙曲的 2+n−2 維洛倫茲空間與一完整黎曼空間的直積。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於哪些洛倫茲流形的特殊 holonomy 群 G，存在全局雙曲實現？
• RQ2 洛倫茲 holonomy 代數的正交部分 H ⊂ SO(n) 需滿足何種條件，以確保存在具有 holonomy G 的全局雙曲度量？
• RQ3 特殊 holonomy 代數的局部實現能否擴展至全局、因果性良好的時空？
• RQ4 所構造度量的因果性特徵如何依賴於度量構造中函數 F 的行為？
• RQ5 當時空與一完整黎曼因子具有乘積結構時，其全局雙曲性是否仍被保持？

主要发现

• 本文證明：對於任何不包含秩 >1 的凱勒對稱空間共軛表示的黎曼 holonomy 群 H，存在一具有 holonomy 群 G（其正交部分為 H）的全局雙曲洛倫茲流形。
• 在 ℝ²⁺ⁿ⁻² × Mⁿ⁰ × Cₘ₁ × ⋯ × Cₘᵣ 上構造的度量為全局雙曲，因任何因果鑽石 J⁺(p₁) ∩ J⁻(p₂) 的閉包為緊緻。
• 度量中的函數 F 的增長至多為 |ξ|²/³ 或 η²，確保因果曲線保留在 ℝ² 的有界區域內，進而導致因果鑽石的緊緻性。
• 時空 (N, g₀) 同構於一全局雙曲洛倫茲空間與一完整黎曼空間的直積，因此其本身亦為全局雙曲。
• 度量 (N, ̃g) 為穩定因果與強因果，且其因果鑽石包含於全局雙曲模型 (N, g₀) 的因果鑽石內，從而確保全局雙曲性。
• 證明依賴於由因果結構導出的 F 的微分界，顯示 F 沿非類空曲線的增長不會過快。