[论文解读] Globally Resonant Homoclinic Tangencies

Sishu Shankar Muni|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2022

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 4

一句话总结

本文研究二维映射中的全局共振同宿纵横，证明了由于具有三阶（反向）或四阶（保向）余维的分岔，无限多个稳定的单圈周期解可共存。关键结果是，分岔序列的缩放行为依参数方向而异，一般情况缩放为 ∼|λ|²ᵏ，退化情形则呈现更慢的 ∼|λ|ᵏ 或 1/k 缩放，导致稳定性区域极为复杂。

ABSTRACT

The attractors of a dynamical system govern its typical long-term behaviour. The presence of many attractors is significant as it means the behaviour is heavily dependent on the initial conditions. To understand how large numbers of attractors can coexist, in this thesis we study the occurrence of infinitely many stable single-round periodic solutions associated with homoclinic connections in two-dimensional maps. We show this phenomenon has a relatively high codimension requiring a homoclinic tangency and `global resonance', as has been described previously in the area-preserving setting. However, unlike in that setting, local resonant terms also play an important role. To determine how the phenomenon may manifest in bifurcation diagrams, we also study perturbations of a globally resonant homoclinic tangency. We find there exist sequences of saddle-node and period-doubling bifurcations. Interestingly, in different directions of parameter space, the bifurcation values scale differently resulting in a complicated shape for the stability region for each periodic solution. In degenerate directions, the bifurcation values scale substantially slower as illustrated in an abstract piecewise-smooth $C^{1}$ map.

研究动机与目标

• 理解二维映射中无限多个稳定单圈周期解共存的机制。
• 确定保向与反向映射中全局共振同宿纵横的余维。
• 分析此类纵横展开后的分岔结构，特别是鞍结与周期加倍序列。
• 表征不同参数方向下分岔点的缩放律。
• 探讨该机制对非线性动力系统中多稳定性的影响，尤其在神经元模型与撞击系统中的应用。

提出的方法

• 使用正规型分析与稳定性三角条件，约束映射高阶迭代的迹与行列式。
• 研究单参数族中同宿纵横的摄动，以识别鞍结与周期加倍分岔序列。
• 通过分析不动点的稳定特征值 λ，推导分岔值的缩放律，区分一般与退化参数方向。
• 利用数值分岔软件定位展开情景附近的鞍结与周期加倍点。
• 分析分段光滑 C¹ 映射，以说明退化情形下更慢的缩放律。
• 研究局部共振项与全局共振在塑造稳定性区域中的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 保向与反向二维映射中，全局共振同宿纵横的余维是多少？
• RQ2 在纵横附近的参数空间中，不同方向的分岔点缩放律如何变化？
• RQ3 此类纵横展开后，单圈周期解的稳定性区域结构如何？
• RQ4 局部共振项如何影响无限多个稳定周期轨道的出现？
• RQ5 无限共存机制能否推广至高阶纵横或高维映射？

主要发现

• 全局共振同宿纵横在反向映射中为三阶余维，在保向映射中为四阶余维。
• 在纵横附近，出现鞍结与周期加倍分岔序列，分岔值一般缩放为 |λ|²ᵏ（其中 −1 < λ < 1）。
• 在退化参数方向，分岔值缩放更慢，示例显示 ∼|λ|ᵏ 与 ∼1/k 缩放律。
• 每个周期解的稳定性区域形状极为复杂，取决于参数方向与缩放行为。
• 一般缩放律 |λ|²ᵏ 与分段线性映射中出现的 |λ|ᵏ 缩放不同。
• 在保向情形中观察到双圈周期解，表明尚有更多分岔有待表征。