[论文解读] Globular: An Online Proof Assistant for Higher-Dimensional Rewriting

John W. Barrett, Meusburger, Catherine+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 45被引用 37

一句话总结

本文提出了一种用于带对偶的Gray范畴的三维图示演算，将辫状图示推广至高维。它证明了对偶诱导出带有自然同构的函子，建立了严格化定理以恢复180°旋转对称性，并定义了一个“空间条件”，确保在同胚下图示评价的不变性——这对拓扑量子场论和状态和模型至关重要。

ABSTRACT

The geometric and algebraic properties of Gray categories with duals are investigated by means of a diagrammatic calculus. The diagrams are three-dimensional stratifications of a cube, with regions, surfaces, lines and vertices labelled by Gray category data. These can be viewed as a generalisation of ribbon diagrams. The Gray categories present two types of duals, which are extended to functors of strict tricategories with natural isomorphisms, and correspond directly to symmetries of the diagrams. It is shown that these functors can be strictified so that the symmetries of a cube are realised exactly. A new condition on Gray categories with duals called the spatial condition is defined. A class of diagrams for which the evaluation for spatial Gray categories is invariant under homeomorphisms is exhibited. This relation between the geometry of the diagrams and structures in the Gray categories proves useful in computations and has potential applications in topological quantum field theory.

研究动机与目标

• 开发一种基于三维图示演算的带对偶Gray范畴的几何与代数框架。
• 理解Gray范畴中的对偶如何对应于三维图示中的对称性，特别是180°旋转。
• 定义一个空间条件，使得图示评价在图示的同胚下保持不变。
• 证明一个严格化定理，使对偶函子的复合满足精确的180°旋转恒等式。
• 为扩展的拓扑量子场论和状态和模型提供图示基础。

提出的方法

• 将三维图示构造为立方体的分层结构，其中3-、2-、1-和0-层分别标记为Gray范畴中的对象、1-、2-和3-态射。
• 将Joyal和Street的图示演算推广至三维，利用三个正交轴表示Gray范畴中的三种复合。
• 引入两种对偶类型（∗和#），分别对应于不同坐标轴上的180°旋转，其相干性数据以几何方式编码。
• 为带对偶的Gray范畴定义一个“空间条件”，以确保图示评价在图示的3D分层同胚下保持不变。
• 使用2-严格三范畴的函子来建模对偶运算，其中自然同构Γ和Θ捕捉几何对称性。
• 应用严格化技术，证明任意空间Gray范畴与对偶均可严格同构于满足∗∗=1、##=1和∗#∗#=1的范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过具有旋转对称性的三维图示，几何地表示Gray范畴中的对偶？
• RQ2 带对偶的Gray范畴中两种对偶类型（∗和#）背后的代数结构是什么？
• RQ3 在何种条件下，Gray范畴图示的评价在底层3D分层的同胚下保持不变？
• RQ4 能否对对偶函子∗和#进行严格化，使其复合满足精确的180°旋转恒等式？
• RQ5 带对偶的Gray范畴图示演算如何与扩展拓扑量子场论中的拓扑不变量相关联？

主要发现

• ∗和#对偶可自然地延拓为2-严格三范畴的函子，满足∗∗=1，且存在自然同构Γ: ∗#∗# →1和Θ: ## →1。
• 一般Gray范畴图示的评价在渐进图示的同伦下保持不变，如定理2.32所形式化。
• 定义了一个新空间条件，使得对于空间Gray范畴，图示评价在3D分层的同胚下保持不变。
• 每个空间Gray范畴与对偶均可严格化，使得对偶函子满足∗∗=1、##=1和∗#∗#=1，从而恢复精确的180°旋转对称性。
• 自然同构∆: # →∗#∗诱导出两个同胚的图示，但其评价未必相等，这促使引入空间条件。
• 图示演算在几何对称性与代数相干性数据之间建立了直接联系，使得高阶范畴论与TQFT中的具体计算成为可能。