[论文解读] Glueing vertex algebras

Thomas Creutzig, Shashank Kanade+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 54被引用 21

一句话总结

本文通过将两个顶点算子代数 $\mathsf{U}$ 和 $\mathsf{V}$ 沿着从 $\mathcal{U}$ 的单个对象到 $\mathcal{V}$ 的对象的映射 $\alpha$ 进行粘合，构造了一个共形顶点代数 $\mathsf{A}$，形式为 $\mathsf{A} = \bigoplus \mathsf{X} \otimes \alpha(\mathsf{X})$。关键结果是：当且仅当 $\mathcal{U}$ 和 $\mathcal{V}$ 是具有反辫子等价的有 braided tensor categories，且该等价将 $\mathsf{X}$ 映射到 $\alpha(\mathsf{X})^*$ 时，$\mathsf{A}$ 才会成为 $\mathsf{U} \otimes \mathsf{V}$ 的一个简单共形扩展。该构造为通过模类别数据扩展顶点代数提供了范畴论准则。

ABSTRACT

Let $\mathsf{U}$ and $\mathsf{V}$ be vertex operator algebras with module (sub)categories $\mathcal{U}$ and $\mathcal{V}$, respectively, satisfying suitable assumptions which hold for example if $\mathcal{U}$ and $\mathcal{V}$ are semisimple rigid braided (vertex) tensor categories with countably many inequivalent simple objects. If $ au$ is a map from the set of inequivalent simple objects of $\mathcal{U}$ to the objects $\mathcal{V}$ with $ au(\mathsf{U})=\mathsf{V}$, then we glue $\mathsf{U}$ and $\mathsf{V}$ along $\mathcal{U}\boxtimes \mathcal{V}$ via $ au$ to obtain the object \[ \mathsf{A} = \bigoplus \mathsf{X} \otimes au(\mathsf{X}) \] where the sum is over all inequivalent simple objects of $\mathcal{U}$. Assuming $\mathsf{U}$ and $\mathsf{V}$ form a commuting pair in $\mathsf{A}$ in the sense that the multiplicity of $\mathsf{V}$ is $\mathsf{U}$, our main theorem is that there is a braid-reversed equivalence between $\mathcal{U}$ and $\mathcal{V}$ mapping $\mathsf{X}$ to $ au(\mathsf{X})^*$ if and only if $\mathsf{A}$ can be given the structure of a simple conformal vertex algebra that (conformally) extends $\mathsf{U}\otimes \mathsf{V}$.

研究动机与目标

• 通过 $\mathsf{U}$ 和 $\mathsf{V}$ 的单个对象之间的映射 $\alpha$，将两个顶点算子代数粘合，构造一个新的顶点代数 $\mathsf{A}$。
• 识别当粘合代数 $\mathsf{A}$ 成为扩展 $\mathsf{U} \otimes \mathsf{V}$ 的简单共形顶点代数时，其范畴论条件。
• 建立此类共形扩展的存在性与 $\mathcal{U}$ 和 $\mathcal{V}$ 的模类别之间存在反辫子等价之间的精确对应关系。

提出的方法

• 定义对象 $\mathsf{A} = \bigoplus \mathsf{X} \otimes \alpha(\mathsf{X})$，其中求和遍历 $\mathcal{U}$ 的非等价单个对象，使用从 $\mathcal{U}$-对象到 $\mathcal{V}$-对象的映射 $\alpha$，且满足 $\alpha(\mathsf{U}) = \mathsf{V}$。
• 假设 $\mathsf{U}$ 和 $\mathsf{V}$ 在 $\mathsf{A}$ 中构成一对可交换代数，以确保其作用的相容性。
• 利用具有可数多个单个对象的半单刚性辫子张量范畴的结构，以确保模类别的良好行为。
• 通过利用张量积和辫子等价数据，在 $\mathsf{A}$ 上构造一个顶点代数结构。
• 应用共形扩展的概念，以确定 $\mathsf{A}$ 何时成为简单共形顶点代数。
• 建立 $\mathcal{U}$ 和 $\mathcal{V}$ 之间将 $\mathsf{X}$ 映射到 $\alpha(\mathsf{X})^*$ 的反辫子等价，作为共形扩展存在的必要且充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种范畴论条件下，两个顶点算子代数 $\mathsf{U}$ 和 $\mathsf{V}$ 可以被粘合成一个新的共形顶点代数 $\mathsf{A}$？
• RQ2 从 $\mathcal{U}$-单个对象到 $\mathcal{V}$-对象的映射 $\alpha$ 在构造 $\mathsf{A}$ 中起到何种作用？
• RQ3 在 $\mathsf{A}$ 中，$\mathsf{U} \otimes \mathsf{V}$ 的共形扩展的存在性与 $\mathcal{U}$ 和 $\mathcal{V}$ 之间的辫子等价之间有何关系？
• RQ4 在 $\mathsf{A}$ 的构造中，将 $\mathsf{X}$ 映射到 $\alpha(\mathsf{X})^*$ 的反辫子等价具有何种重要意义？
• RQ5 该粘合过程能否完全通过模类别数据来刻画，而无需涉及显式的顶点算子？

主要发现

• 若 $\mathsf{U}$ 和 $\mathsf{V}$ 在 $\mathsf{A}$ 中构成一对可交换代数，则粘合对象 $\mathsf{A} = \bigoplus \mathsf{X} \otimes \alpha(\mathsf{X})$ 可赋予一个简单共形顶点代数结构。
• 在 $\mathsf{A}$ 中，$\mathsf{U} \otimes \mathsf{V}$ 的共形扩展的存在性，等价于 $\mathcal{U}$ 和 $\mathcal{V}$ 的模类别之间存在反辫子等价。
• 该反辫子等价将 $\mathcal{U}$ 中的每个单个对象 $\mathsf{X}$ 映射到 $\mathcal{V}$ 中的对偶 $\alpha(\mathsf{X})^*$，从而与辫子张量结构保持一致。
• 该构造在假设 $\mathcal{U}$ 和 $\mathcal{V}$ 是具有可数多个单个对象的半单刚性辫子张量范畴的前提下成立。
• 该结果为通过模类别数据实现共形扩展提供了范畴论准则，推广了顶点代数理论中已知的粘合构造。
• 条件 $\alpha(\mathsf{U}) = \mathsf{V}$ 确保了在真空模层面，粘合过程的相容性。