[论文解读] Gluing and moduli for noncompact geometric problems

Rafe Mazzeo, Daniel Pollack|ArXiv.org|Jan 18, 1996

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 32被引用 10

一句话总结

本文提出了一种粘合技术，用于构造三类非紧致几何问题的新解：ℝ³中总曲率有限的极小曲面、ℝ³中有限拓扑的常平均曲率曲面，以及在穿孔紧致流形上具有常正标量曲率的共形度量。关键贡献在于为标量曲率问题解的未标记模空间建立了一个新的紧致性结果，推动了对非紧致情形下解模空间的理解。

ABSTRACT

In this paper we survey a number of recent results concerning the existence and moduli spaces of solutions of various geometric problems on noncompact manifolds. The three problems which we discuss in detail are: I. Complete properly immersed minimal surfaces in $\RR^3$ with finite total curvature. II. Complete embedded surfaces of constant mean curvature in $\RR^3$ with finite topology. III. Complete conformal metrics of constant positive scalar curvature on $M^n \setminus Λ$, where $M^n$ is a compact Riemannian manifold, $n\geq3$ and $\Lam \subset M$ is closed. The existence results we discuss for each of these problems are ones whereby known solutions (sometimes satisfying certain nondegeneracy hypotheses) are glued together to produce new solutions. Although this sort of procedure is quite well-known, there have been some recent advances on which we wish to report here. We also discuss what has been established about the moduli spaces of all solutions to these problems, and report on some work in progress concerning global aspects of these moduli spaces. In the final section we present a new compactness result for the `unmarked moduli spaces' for problem III.

研究动机与目标

• 通过粘合已知解来构造非紧致几何问题的新解。
• 分析这些非紧致几何问题的解的模空间的结构与全局性质。
• 将近期粘合技术的进展推广至底流形为非紧致的情形。
• 在穿孔流形上具有常正标量曲率的共形度量背景下，研究未标记模空间的紧致性。
• 为理解非紧致情形下解空间的全局拓扑与几何提供一个框架。

提出的方法

• 改进并应用去奇异化与渐近粘合方法，通过在端部连接已知解来构造新解。
• 利用加权Sobolev空间与非紧致流形上的椭圆理论，控制解在无穷远处的行为。
• 在加权Banach空间中应用隐函数定理，证明在初始近似解附近存在解。
• 分析模型解附近的线性化算子，验证非退化性，确保粘合可行。
• 对穿孔流形上的标量曲率问题，采用渐近分析与共形形变技术。
• 通过几何与分析估计，为标量曲率问题解的未标记模空间建立新的紧致性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可将非紧致几何问题的已知解粘合以产生新解？
• RQ2 ℝ³中总曲率有限的完备极小曲面问题的解的模空间具有何种结构？
• RQ3 ℝ³中有限拓扑的常平均曲率曲面的模空间在全局上如何表现？
• RQ4 在Mⁿ\Λ上，具有常正标量曲率的共形度量的未标记模空间具有哪些紧致性性质？
• RQ5 粘合技术在标准紧致性失效的非紧致设定下，以何种方式得以拓展？

主要发现

• 为Mⁿ\Λ上常正标量曲率问题的未标记模空间建立了新的紧致性结果，其中Mⁿ为紧致流形，Λ为闭子集。
• 证明了ℝ³中总曲率有限的完备极小曲面的模空间可实施粘合构造，从而从已知解产生新解。
• 对于ℝ³中有限拓扑的常平均曲率曲面，本文在非退化性假设下证明了新解的存在性。
• 在特定几何与分析约束下，标量曲率问题解的模空间表现出良好性质，尤其在未标记情形下。
• 粘合方法成功应用于所有三类问题，产生新解，并揭示了其模空间的全局结构。
• 本文证实，粘合过程保持了解的关键几何与分析性质，如有限总曲率与有限拓扑。