[论文解读] Gluing formula for the stable cohomotopy version of Seiberg-Witten invariants along 3-manifolds with $b_1 > 0$

Hirofumi Sasahira|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文通过在第一贝蒂数大于零且第一陈类为挠的3-流形上定义Seiberg-Witten-Floer稳定同伦型，构建了具有边界的4-流形的稳定同伦球面版本的Seiberg-Witten不变量，其条件为三重上积形式 $ q_Y $ 恒为零。利用此构造，作者建立了计算闭4-流形不变量的粘合公式，该公式通过沿此类3-流形分解后得到的相对不变量的复合来实现。

ABSTRACT

We will define a version of Seiberg-Witten-Floer stable homotopy types for a closed, oriented 3-manifold $Y$ with $b_1(Y) > 0$ and a spin-c structure $\mathfrak{c}$ on $Y$ with $c_1(\mathfrak{c})$ torsion under an assumption on $Y$. Using the Seiberg-Witten-Floer stable homotopy type, we will construct a gluing formula for the stable cohomotopy version of Seiberg-Witten invariants of a closed 4-manifold $X$ which has a decomposition $X = X_1 \cup_Y X_2$ along $Y$.

研究动机与目标

• 将Seiberg-Witten-Floer稳定同伦型扩展至满足 $ b_1(Y) > 0 $ 且第一陈类为挠的3-流形，条件为 $ q_Y = 0 $。
• 利用新的稳定同伦型，为具有边界 $ Y $ 的4-流形定义相对不变量。
• 在 $ b_1(Y) > 0 $ 的情况下，建立稳定同伦球面版本的Seiberg-Witten不变量的粘合公式。
• 通过 $ U(1) $-等变稳定同伦理论，将Bauer-Furuta不变量推广至具有边界的4-流形。
• 为沿第一贝蒂数非零的3-流形分解的闭4-流形提供计算不变量的框架。

提出的方法

• 通过Dirac算子族 $ \mathbf{D}_{\mathfrak{c}} $ 的谱截面 $ \mathbf{P} $，为满足 $ b_1(Y) > 0 $、第一陈类为挠且 $ q_Y = 0 $ 的3-流形 $ Y $ 定义Seiberg-Witten-Floer稳定同伦型 $ \operatorname{SWF}(Y,\mathfrak{c},H,g,\mathbf{P}) $。
• 利用Melrose-Piazza谱截面构造，当 $ \operatorname{Ind}\mathbf{D}_{\mathfrak{c}} = 0 $ 在 $ K^1(\operatorname{Pic}(Y)) $ 中成立时，保证 $ \mathbf{P} $ 的存在性，而此条件在 $ q_Y = 0 $ 时成立。
• 为具有边界 $ Y $ 的4-流形 $ X_1 $，在 $ \operatorname{SWF}(Y,\mathfrak{c},H,g,\mathbf{P}) $ 的 $ U(1) $-等变稳定同伦群中构造相对不变量 $ \psi_{X_1,\hat{\mathfrak{c}}_1,H,g,\mathbf{P}} $。
• 通过流线和指标对的形变论证，定义相对不变量复合与闭4-流形上总不变量之间的同伦关系。
• 利用单极子模空间的紧致性，确保在小扰动和大截断下粘合映射的良定义性。
• 通过构造连续同伦 $ H_u $，在相对不变量的乘积与总不变量之间进行插值，证明在指定条件下，复合结果与原始不变量同伦。

实验结果

研究问题

• RQ1 Seiberg-Witten-Floer稳定同伦型能否被扩展至满足 $ b_1 > 0 $ 且第一陈类为挠的3-流形？
• RQ2 在何种拓扑条件下，族Dirac算子 $ \mathbf{D}_{\mathfrak{c}} $ 存在谱截面？
• RQ3 当 $ b_1(Y) > 0 $ 时，如何为具有边界 $ Y $ 的4-流形定义相对不变量？
• RQ4 在 $ b_1(Y) > 0 $ 的情况下，是否存在稳定同伦球面Seiberg-Witten不变量的粘合公式？
• RQ5 沿 $ Y $ 的相对不变量的复合是否能恢复闭4-流形 $ X = X_1 \cup_Y X_2 $ 的总不变量？

主要发现

• 对于满足 $ b_1(Y) > 0 $、第一陈类为挠且 $ q_Y = 0 $ 的闭、定向3-流形 $ Y $，Seiberg-Witten-Floer稳定同伦型 $ \operatorname{SWF}(Y,\mathfrak{c},H,g,\mathbf{P}) $ 是良定义的。
• 当 $ q_Y = 0 $ 时，族Dirac算子 $ \mathbf{D}_{\mathfrak{c}} $ 的谱截面 $ \mathbf{P} $ 存在，确保了构造的可行性。
• 为具有边界 $ Y $ 的4-流形 $ X_1 $，在 $ \operatorname{SWF}(Y,\mathfrak{c},H,g,\mathbf{P}) $ 的 $ U(1) $-等变稳定同伦群中定义了相对不变量 $ \psi_{X_1,\hat{\mathfrak{c}}_1,H,g,\mathbf{P}} $。
• 粘合公式成立：相对不变量 $ \psi_{X_1,\hat{\mathfrak{c}}_1} $ 与 $ \psi_{X_2,\hat{\mathfrak{c}}_2} $ 的复合与闭4-流形 $ X = X_1 \cup_Y X_2 $ 上的总不变量 $ \psi_{X,\hat{\mathfrak{c}}} $ 同伦。
• 该证明依赖于通过流线和单极子模空间的紧致性，构造从相对不变量乘积到总不变量的连续同伦 $ H_u $。
• 结果将Manolescu的粘合公式推广至 $ b_1(Y) > 0 $ 的情形，将稳定同伦球面Seiberg-Witten理论从 $ b_1 = 0 $ 的情况扩展至更一般的情形。