[论文解读] Gluing I: Integrals and Symmetries

Mykola Dedushenko|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用 10

一句话总结

本文提出了一种基于相空间中拉格朗日叶状结构定义的极化边界条件下，通过路径积分方法实现量子场论在边界上粘合的框架。该研究证明，在特定条件下，母d维场论的对称性会下放到(d−1)维粘合场论中，为从局部QFT构造非局域边界场论提供了严格的数学框架，其应用在附录论文中延伸至超对称场论。

ABSTRACT

We review some aspects of the cutting and gluing law in local quantum field theory. In particular, we emphasize the description of gluing by a path integral over a space of polarized boundary conditions, which are given by leaves of some Lagrangian foliation in the phase space. We think of this path integral as a non-local $(d-1)$-dimensional gluing theory associated to the parent local $d$-dimensional theory. We describe various properties of this procedure and spell out conditions under which symmetries of the parent theory lead to symmetries of the gluing theory. The purpose of this paper is to set up a playground for the companion paper where these techniques are applied to obtain new results in supersymmetric theories.

研究动机与目标

• 通过极化边界条件上的路径积分形式化局部QFT中的切割与粘合公理。
• 阐明d维QFT的全局对称性如何在结果的(d−1)维粘合场论中诱导出对称性。
• 为非拓扑性、微扰QFT中的粘合过程提供数学基础，尤其涵盖欧几里得与洛伦兹性情形。
• 通过解析延拓解决动量空间波函数中的明显发散问题，确保粘合操作的一致性。
• 通过附录论文中关于超对称设置下的粘合，为在超对称场论中的应用奠定基础。

提出的方法

• 将粘合作为在极化边界条件空间上的路径积分，其中每个边界条件对应相空间中拉格朗日叶状结构的一片叶。
• 采用BV-BFV形式化以确保在带边界的流形上微扰规范场论中切割与粘合的兼容性。
• 通过从欧几里得签名到洛伦兹签名的解析延拓，获得动量空间中可平方可积的归一化波函数，从而解决经典欧几里得路径积分中的发散问题。
• 通过耦合到洛伦兹演化过程的欧几里得“帽”构造边界态，以建模1维QFT中初态的制备。
• 证明当使用解析延拓后的波函数时，粘合操作（如自粘合或帽与帽粘合）可正确生成热力学分区函数。
• 建立位置表象与动量表象中粘合的一致性，表明仅在对欧几里得波函数进行解析延拓后，这种一致性才成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过极化边界条件上的路径积分，一致地表述局部QFT中的粘合过程？
• RQ2 在何种条件下，d维QFT的全局对称性能下放到(d−1)维粘合场论的对称性？
• RQ3 为何朴素的欧几里得动量空间波函数无法产生可归一化的态，以及如何解决此问题？
• RQ4 为何对欧几里得波函数进行解析延拓能恢复自粘合或帽与帽粘合等粘合操作中的一致性？
• RQ5 拉格朗日叶状结构在定义粘合路径积分的边界条件空间中起何精确作用？

主要发现

• 由拉格朗日叶状结构的叶定义的极化边界条件上的路径积分，为母d维QFT提供了非局域的(d−1)维粘合场论。
• 若相应向量场保持拉格朗日叶状结构与边界作用量不变，则母QFT的对称性可诱导出粘合场论中的对称性。
• 朴素的欧几里得动量空间波函数是发散的，但通过解析延拓至洛伦兹签名后，可获得平方可积且物理上一致的波函数。
• 通过解析延拓后的波函数粘合两个欧几里得帽，可正确生成长度为2T的圆上的热分区函数，与预期结果一致。
• 使用解析延拓后的波函数对单个帽进行自粘合，可重现长度为T的圆上的热分区函数，验证了方法的一致性。
• 该方法通过表明仅洛伦兹（解析延拓后）波函数能给出正确归一化与物理结果，解决了动量空间粘合中的明显不一致性。