[论文解读] Gonality of the modular curve $X_0(N)$

Filip Najman, Petar Orlić|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文确定了所有 $N < 145$ 的模曲线 $X_0(N)$ 的 $ℚ$-gonality 和 $ℂ$-gonality，并将结果扩展至更大的 $N$，识别出所有在 $ℚ$ 上 gonality 为 4、5 和 6 的 $X_0(N)$。本文提供了首个已知的复数域上五次曲线的例子，具体为 $N = 97$ 和 $169$，并全面分类了在 $ℚ$ 上低 gonality 的模曲线，解决了关于具有少量有理点的模曲线分类中长期存在的空白。

ABSTRACT

In this paper we determine the $\mathbb Q$-gonalities of the modular curves $X_0(N)$ for all $N&lt;145$. We determine the $\mathbb C$-gonality of many of these curves and the $\mathbb Q$-gonalities and $\mathbb C$-gonalities for many larger values of $N$. Using these results and some further work, we determine all the modular curves $X_0(N)$ of gonality $4$, $5$ and $6$ over $\mathbb Q$. We also find the first known instances of pentagonal curves $X_0(N)$ over $\mathbb C$.

研究动机与目标

• 确定所有 $N < 145$ 的 $X_0(N)$ 的 $ℚ$-gonality 和 $ℂ$-gonality，并在可能的情况下将结果扩展至更大的 $N$。
• 对所有在 $ℚ$ 上为四次、五次或六次的模曲线 $X_0(N)$ 进行分类，解决关于模曲线上 $d$ 次点的算术关键问题。
• 识别出首个已知的在 $ℂ$ 上为五次的模曲线 $X_0(N)$ 的例子，填补了文献中的显著空白。
• 为 $X_0(N)$ 提供精确的 gonality 数据，以支持 LMFDB 数据库及未来对模曲线的算术研究。
• 开发并应用针对 $X_0(N)$ 的计算技术，克服诸如模单位稀少和缺乏自然平面模型等挑战。

提出的方法

• 作者通过结合群作用分析、模单位和到 $ℑ^1$ 的有理映射，计算 $ℚ$-gonality，利用了在高度合数 $N$ 时 $X_0(N)$ 中丰富的对合结构。
• 通过模参数化和 Hecke 算子构造显式有理映射，推导出 gonality 的上界；并利用亏格和 Clifford 定理推导下界。
• 对于 $ℂ$-gonality，应用代数几何中的结果，包括 Castelnuovo–Severi 不等式以及对三次数和四次数曲线的已知分类。
• 使用计算代数系统分析函数域，并通过测试有界次数的有理函数的存在性，验证 $d = 4,5,6$ 时存在 $d$ 次映射的存在性。
• 将结果与 $X_1(N)$ 和 $X_0(N)$ 的先前工作进行比较，借鉴 Derickx 和 van Hoeij 的方法，但对其进行了修改，以适应 $X_0(N)$ 中尖点和模单位稀少的特性。
• 通过与已知的双曲、三次数和四次数 $X_0(N)$ 的分类进行一致性检查，并利用 Abramovich 的界来优化估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些模曲线 $X_0(N)$ 在 $ℚ$ 上是四次的，这样的 $N$ 的完整列表是什么？
• RQ2 是否存在已知的在 $ℂ$ 上为五次的模曲线 $X_0(N)$ 的例子？若存在，对应哪些 $N$？
• RQ3 在 $ℚ$ 上，$X_0(N)$ 的 gonality 为 5 和 6 的完整分类是什么？
• RQ4 $X_0(N)$ 的 $ℚ$-gonality 和 $ℂ$-gonality 之间有何关系？在哪些情况下二者不同？
• RQ5 能否开发出有效的计算技术，以在缺乏自然平面模型和模单位有限的条件下，确定 $X_0(N)$ 的 gonality？

主要发现

• 本文完全分类了在 $ℚ$ 上 gonality 为 4 的 $X_0(N)$，表明 $X_0(N)$ 在 $ℚ$ 上为四次当且仅当 $N$ 属于集合 $\{38,42,44,51,52,53,55,56,57,58,60,61,62,63,65,66,67,68,69,70,72,73,74,75,77,78,79,80,83,85,87,88,89,91,92,94,95,96,98,100,101,103,104,107,111,119,121,125,131,142,143,167,191\}$。
• 本文识别出 $X_0(109)$ 是唯一在 $ℚ$ 上为五次的 $X_0(N)$，解决了关于此类曲线是否存在这一长期悬而未决的开放问题。
• 本文首次提供了在 $ℂ$ 上为五次的 $X_0(N)$ 的已知例子，具体为 $N = 97$ 和 $N = 169$，标志着在按 gonality 分类模曲线方面的重要进展。
• 对于在 $ℚ$ 上 gonality 为 6 的情况，本文提供了完整的 $N$ 列表，包括 $76,82,84,86,90,93,97,99,108,112,113,115-118,122-124,127-129,135,137,139,141,144,146,147,149,151,155,159,162,164,169,179,181,215,227,239$。
• 作者计算并记录了所有 $N < 145$ 的 $X_0(N)$ 的 $ℚ$-gonality 和 $ℂ$-gonality，并为许多更大的 $N$ 提供了界，显著扩展了 LMFDB 数据库中的已知数据。
• 本研究确认了对所有 $X_0(N)$，$ℚ$-gonality 严格小于或等于 $ℂ$-gonality，且识别出二者不同的情况，例如当 $N = 169$ 时，$ℚ$-gonality 为 6，而 $ℂ$-gonality 为 5。