[论文解读] Good binary quantum codes with transversal CCZ gate

Kate Nguyen|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2024

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文通過利用固定大小的阿代爾-幾何碼（在固定大小的量子位字母表上）並透過乘法友好的嵌入將其簡化為量子比特，提出了一類具有可逆CCZ門的漸近良好二元量子CSS碼。該構造實現了恆定速率與線性距離，進而實現恆定開銷的魔法態 distillation。

ABSTRACT

We give an asymptotically good family of quantum CSS codes on qubits with a transversal CCZ gate, meaning that the parallel logical CCZ on all logical qubits is performed by parallel physical CCZs on (a subset of) physical qubits. The construction is based on the observation that any classical code satisfying a multiplication property can be used to construct a quantum CSS code with transversal (qudit) CCZ. To obtain a constant-rate and linear-distance family, we then instantiate this construction with a classical good family of algebraic-geometry codes on a non-binary, but constant-sized, alphabet. Finally, we use a technique from the arithmetic secret sharing literature to reduce the alphabet to binary. As a corollary, the constructed code family provides a magic state distillation scheme with constant space overhead.

研究动机与目标

• 構造一個恆定速率、線性距離的二元量子碼家族，支援可逆非 Clifford 門，特別是 CCZ 門。
• 克服先前構造的限制：速率趨近於零，或需要增長的量子位維度。
• 適應古典代數幾何碼的乘法性質，以實現多量子比特相位門（如 CCZ）的可逆實現。
• 在保留可逆性與漸近碼品質的條件下，將高字母表的量子位碼簡化為二元碼，使用算術秘密分享技術。
• 作為構造碼家族的直接應用，實現恆定空間開銷的魔法態 distillation。

提出的方法

• 使用在固定、恆定大小字母表（2 的冪）上的古典代數幾何（AG）碼，其滿足乘法性質：碼字的逐分量乘積落在相關碼中。
• 利用三正交框架，從 AG 碼構造一個量子位 CSS 碼，藉由乘法性質確保（量子位）CCZ 門的可逆實現。
• 應用乘法友好的嵌入（來自算術秘密分享）將量子位碼映射至二元量子碼，同時保留碼參數與可逆性。
• 利用基於跡的同構與有限體乘法映射的矩陣表示，將量子位運算嵌入至具有可逆 CCZ 門的二元 Clifford 電路中。
• 將所得的二元碼與一個小的二元碼（例如 $[[r,m,1]]$）串接，以透過編碼量子比特上的可逆物理 CCZ 門實現邏輯 CCZ 門。
• 驗證邏輯 CCZ 門在編碼邏輯態上表現為受三重邏輯態乘積控制的相位翻轉，相位由 $ Rubio $ 上的多線性函數決定。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否構造一個恆定速率、線性距離的二元量子碼家族，並具備可逆 CCZ 門？
• RQ2 能否利用古典 AG 碼的乘法性質，實現多量子位相位門（如 CCZ）的可逆實現？
• RQ3 是否可能在保留可逆性與漸近碼品質的條件下，將高字母表的量子位碼簡化為二元碼？
• RQ4 此碼家族是否能實現恆定開銷的魔法態 distillation？
• RQ5 算術秘密分享技術如何用於將量子位運算嵌入二元量子電路？

主要发现

• 本文構造了一類漸近良好的二元量子 CSS 碼家族，具有恆定速率與線性距離，是首個具備可逆 CCZ 門的此類碼家族。
• 該構造依賴於在固定大小字母表（2 的冪）上的古典 AG 碼，其滿足乘法性質與對偶封閉性。
• 可逆 CCZ 門透過與乘法友好的嵌入串接實現，該嵌入將量子位運算映射至量子比特上的可逆物理 CCZ 門。
• 邏輯 CCZ 運算被實現為受三重邏輯態乘積控制的相位翻轉，相位由 $ Rubio $ 上的多線性函數決定。
• 所得碼家族支援恆定空間開銷的魔法態 distillation，因可逆 CCZ 門允許高效的 distillation 協定。
• 該構造推廣了先前關於具可逆非 Clifford 門的量子位碼的工作，並拓展至具有完整可逆性與漸近最佳性的量子比特情況。