[论文解读] Good Concatenated Code Ensembles for the Binary Erasure Channel

Alexandre Graell i Amat, Eirik Rosnes|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2009

Error Correcting Code Techniques参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文针对二元删除信道（BEC）上的重复多次累加（RMA）和混合级联码（HCC）码集，引入了停顿集分析，证明两类码集的渐近停顿距离 hmin 随码长线性增长，从而证明其在 BEC 上表现良好。与最小距离 dmin 不同，hmin 的增长速率随累加器数量增加而降低；在高码率下随机删减会破坏 hmin 的线性增长，而 dmin 则趋近于 Gilbert-Varshamov 界。

ABSTRACT

In this work, we give good concatenated code ensembles for the binary erasure channel (BEC). In particular, we consider repeat multiple-accumulate (RMA) code ensembles formed by the serial concatenation of a repetition code with multiple accumulators, and the hybrid concatenated code (HCC) ensembles recently introduced by Koller et al. (5th Int. Symp. on Turbo Codes & Rel. Topics, Lausanne, Switzerland) consisting of an outer multiple parallel concatenated code serially concatenated with an inner accumulator. We introduce stopping sets for iterative constituent code oriented decoding using maximum a posteriori erasure correction in the constituent codes. We then analyze the asymptotic stopping set distribution for RMA and HCC ensembles and show that their stopping distance hmin, defined as the size of the smallest nonempty stopping set, asymptotically grows linearly with the block length. Thus, these code ensembles are good for the BEC. It is shown that for RMA code ensembles, contrary to the asymptotic minimum distance dmin, whose growth rate coefficient increases with the number of accumulate codes, the hmin growth rate coefficient diminishes with the number of accumulators. We also consider random puncturing of RMA code ensembles and show that for sufficiently high code rates, the asymptotic hmin does not grow linearly with the block length, contrary to the asymptotic dmin, whose growth rate coefficient approaches the Gilbert-Varshamov bound as the rate increases. Finally, we give iterative decoding thresholds for the different code ensembles to compare the convergence properties.

研究动机与目标

• 在二元删除信道（BEC）上，建立 RMA 和 HCC 码集的停顿集分布。
• 定义并分析渐近停顿距离 hmin，作为基于 MAP 删除纠错的迭代分量码译码中码性能的度量。
• 比较不同累加器数量和删减条件下 hmin 与 dmin 的渐近行为。
• 使用 EXIT 图分析评估不同码集的迭代译码收敛特性。

提出的方法

• 针对 RMA 和 HCC 码，引入基于最大后验概率（MAP）删除纠错的迭代分量码导向译码的停顿集。
• 利用因子图表示，推导 RMA 和 HCC 码集的平均停顿集枚举函数。
• 应用谱形函数与渐近分析，计算停顿距离增长速率系数 ρ0。
• 使用递推方程与边界条件，建模停顿集大小在各累加器间的演化过程。
• 通过引理 5 和 6 进行渐近分析，依赖于谱形函数的增长率条件与连续性性质。
• 采用 EXIT 图分析，评估不同码集的迭代译码收敛阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 RMA 和 HCC 码集在 BEC 上是否表现出渐近线性的停顿距离 hmin，从而表明码集性能良好？
• RQ2 与最小距离 dmin 相比，hmin 的增长速率系数如何随累加器数量变化？
• RQ3 在高码率下随机删减对 RMA 码的渐近 hmin 增长行为有何影响？
• RQ4 通过 EXIT 图分析，RMA 和 HCC 码集的迭代译码收敛特性有何不同？
• RQ5 停顿集分布是否能准确刻画这些码结构在 BEC 上的译码失败情况？

主要发现

• RMA 和 HCC 码集在 BEC 上均为渐近良好码，因其停顿距离 hmin 随码长线性增长。
• 对于 RMA 码，渐近 hmin 增长速率系数随累加器数量增加而降低，与 dmin 的增长速率随累加器增加而上升形成对比。
• 在足够高的码率下进行随机删减，会导致渐近 hmin 停止随码长线性增长，而 dmin 在相同条件下则趋近于 Gilbert-Varshamov 界。
• 渐近停顿集大小谱形函数 rCRMA_s(ρ; N) 受限于 2L ln(N+1)/N + rCRMA_s(ρ)，从而支持增长速率分析。
• EXIT 图分析揭示了 RMA 和 HCC 码集具有不同的收敛阈值，表明其迭代译码性能存在差异。
• 停顿集概念能准确刻画 BEC 上的译码失败，其中未纠正的删除集合恰好对应于最大大小的停顿集。