[论文解读] Good measures on locally compact Cantor sets

Olena Karpel|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过引入“良测度”和紧开值集 $ S(\mu) $ 的概念，对非紧致、局部紧致的康托集上的全非原子博雷尔测度，按同胚关系进行了分类。它建立了良测度同胚类的完全不变量，并构造了具有预设值集和缺陷集的测度例子，将紧致康托集的结果推广至非紧致情形。

ABSTRACT

We study the set M(X) of full non-atomic Borel (finite or infinite) measures on a non-compact locally compact Cantor set X. For an infinite measure $μ$ in M(X), the set $\mathfrak{M}_μ= \{x \in X : {for any compact open set} U i x {we have} μ(U) = \infty \}$ is called defective. We call $μ$ non-defective if $μ(\mathfrak{M}_μ) = 0$. The class $M^0(X) \subset M(X)$ consists of probability measures and infinite non-defective measures. We classify measures $μ$ from $M^0(X)$ with respect to a homeomorphism. The notions of goodness and compact open values set $S(μ)$ are defined. A criterion when two good measures from $M^0(X)$ are homeomorphic is given. For any group-like $D \subset [0,1)$ we find a good probability measure $μ$ on X such that $S(μ) = D$. For any group-like $D \subset [0,\infty)$ and any locally compact, zero-dimensional, metric space A we find a good non-defective measure $μ$ on X such that $S(μ) = D$ and $\mathfrak{M}_μ$ is homeomorphic to A. We consider compactifications cX of X and give a criterion when a good measure $μ\in M^0(X)$ can be extended to a good measure on cX.

研究动机与目标

• 将良测度的分类从紧致情形推广至非紧致、局部紧致的康托集。
• 定义并分析非缺陷的无限测度，引入缺陷集 $ \mathfrak{M}_{\mu} $ 作为关键不变量。
• 为非紧致局部紧致康托集上良测度的同胚类建立完全不变量。
• 构造具有预设紧开值集 $ S(\mu) $ 的测度，包括 $[0,1)$ 和 $[0,\infty)$ 的任意群型子集。
• 研究良测度在紧化下的行为，特别是向康托空间紧化时的延拓性质。

提出的方法

• 定义测度 $ \mu \in M(X) $ 为非缺陷的，若 $ \mu(\mathfrak{M}_{\mu}) = 0 $，其中 $ \mathfrak{M}_{\mu} $ 是所有其每个紧开邻域测度为无穷的点的集合。
• 引入紧开值集 $ S(\mu) $，即 $ X $ 中所有紧开子集的有限 $ \mu $-测度的集合。
• 定义测度为“良”的，若对任意具有 $ \mu(U) < \mu(V) $ 的闭开集 $ U, V $，存在闭开子集 $ W \subset V $ 使得 $ \mu(W) = \mu(U) $。
• 利用可数紧开集基的结构，通过 $[0,1)$ 和 $[0,\infty)$ 的群型子集构造具有指定 $ S(\mu) $ 的测度。
• 通过 $ (C,F) $-构造和 $ p $-进测度构造例子，实现任意良的 $ S(\mu) $ 和与任意给定的零维、局部紧致、度量空间 $ A $ 同胚的 $ \mathfrak{M}_{\mu} $。
• 分析 $ X $ 的紧化 $ cX $，限制在 $ cX $ 为康托集的情形，研究 $ X $ 上的良测度何时可延拓为 $ cX $ 上的良测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非紧致局部紧致康托集上，两个良测度何时同胚？
• RQ2 良测度延拓为空间紧化上良测度的必要且充分条件是什么？
• RQ3 对给定的群型子集 $ D \subset [0,1) $，是否存在良概率测度 $ \mu $ 使得 $ S(\mu) = D $？
• RQ4 对给定的群型子集 $ D \subset [0,\infty) $ 及任意零维、局部紧致、度量空间 $ A $，是否存在良非缺陷测度 $ \mu $ 使得 $ S(\mu) = D $ 且 $ \mathfrak{M}_{\mu} \cong A $？
• RQ5 在紧化下，紧开值集 $ S(\mu) $ 如何变化？良性质在何时被保持？

主要发现

• 在非紧致局部紧致康托集上，两个良测度同胚当且仅当它们的紧开值集 $ S(\mu) $ 相等。
• 对任意群型子集 $ D \subset [0,1) $，存在一个良概率测度 $ \mu $ 在 $ X $ 上使得 $ S(\mu) = D $。
• 对任意群型子集 $ D \subset [0,\infty) $ 及任意局部紧致、零维、度量空间 $ A $，存在一个良非缺陷测度 $ \mu $ 在 $ X $ 上使得 $ S(\mu) = D $ 且 $ \mathfrak{M}_{\mu} $ 同胚于 $ A $。
• $ p $-进数 $ \mathbb{Q}_p $ 上的哈尔测度是良测度，且 $ S(\mu) = \{ np^\gamma \mid n \in \mathbb{N}, \gamma \in \mathbb{Z} \} $。
• $ (C,F) $-构造在非紧致局部紧致康托集上的不变测度是良的，且 $ S(\mu) = \{ \frac{a}{|C_1|\cdots|C_n|} \mid a,n \in \mathbb{N} \} \cap [0, \mu(X)) $。
• 在平稳布拉特利图路径空间的生成开稠密子集上，存在良遍历不变测度，使得所有紧化结果均为非良测度。