[论文解读] Good reduction and cyclic covers

Ariyan Javanpeykar, Daniel Loughran+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 85被引用 11

一句话总结

本文通过循环覆叠和模堆栈的方法，建立了在有限个素点外具有良好约化的代数簇的有限性结果。通过证明关于除子对的 r 次循环覆叠的堆栈在基堆栈的一个有限 étale 覆盖上是 proper 且 étale 的，作者们借助堆栈版本的 Chevalley–Weil 定理，推导出 Shafarevich 猜想的新情形，包括加权射影曲面、阿贝尔簇的双覆叠以及高余维数的超曲面。

ABSTRACT

We prove finiteness results for sets of varieties over number fields with good reduction outside a given finite set of places using cyclic covers. We obtain a version of the Shafarevich conjecture for weighted projective surfaces, double covers of abelian varieties, and reduce the Shafarevich conjecture for hypersurfaces to the case of hypersurfaces of high dimension. These are special cases of a general set-up for integral points on moduli stacks of cyclic covers, and our arithmetic results are achieved via a version of the Chevalley-Weil theorem for stacks.

研究动机与目标

• 将 Shafarevich 猜想推广到曲线以外的新一类代数簇。
• 通过在模堆栈框架下工作，解决在非代数闭域上将循环覆叠与超曲面关联时的歧义性。
• 证明从循环覆叠堆栈到分支除子基堆栈的态射是 proper 且 étale 的，从而通过堆栈上的整点实现有限性。
• 为加权射影曲面和阿贝尔簇的双覆叠建立 Shafarevich 猜想的新情形。
• 将超曲面的一般 Shafarevich 猜想约化为 Fano 超曲面情形（r ≤ n），此时几何结构更简单。

提出的方法

• 使用循环覆叠的模堆栈统一参数化具有良好约化的代数簇，避免在超曲面方程中出现标量歧义。
• 证明从 r 次循环覆叠堆栈到带有分支除子的基代数簇堆栈的自然态射是 proper 且 étale 的，将 Chevalley–Weil 定理推广至堆栈情形。
• 应用堆栈版本的 Chevalley–Weil 定理，推导出模堆栈上整点的有限性，从而推出具有良好约化的代数簇的同构类的有限性。
• 采用类似费马的下降技巧，将循环覆叠与其分支位置联系起来，尤其适用于超曲面和阿贝尔簇的情形。
• 在 S-整数环上工作以建模良好约化，并利用展开与模型约化技术，将数域上的有限性定理应用于本研究。
• 显式构造阿贝尔簇双覆叠的模堆栈，并证明其具有算术双曲性，从而推出同构类的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将超曲面上的 Shafarevich 猜想约化为 Fano 超曲面情形（r ≤ n）？
• RQ2 对于固定的 r 和有限集 S，P(1,1,1,r) 中度为 2r 的光滑加权射影曲面在数环上是否仅有有限个 S-整点？
• RQ3 给定几何亏格与维数的阿贝尔簇双覆叠的模堆栈是否具有算术双曲性？
• RQ4 除子对上的 r 次循环覆叠堆栈是否允许到分支除substrate 堆栈的 proper 且 étale 的态射？
• RQ5 能否利用循环覆叠堆栈上整点的有限性来证明 Shafarevich 猜想的新情形？

主要发现

• 若 Shafarevich 猜想对数域上 P^{n+1} 中度为 r 的光滑超曲面在维度 n 成立，则其对所有维度 m ≤ n 也成立，从而可约化至高维情形。
• 在整闭的 Z-有限环 A（满足 2 ∈ A×）上，P(1,1,1,r) 中度为 2r 的光滑曲面的模堆栈仅有有限个 A-同构类，从而证明了 Shafarevich 猜想的新情形。
• 当 g = 2 或 g ≥ 4 时，具有几何亏格 p 的阿贝尔簇双覆叠的模堆栈 G_{g,p} 具有算术双曲性，从而推出在 S-整数环上同构类的有限性。
• 除子对上的 r 次循环覆叠堆栈是基分支除子堆栈的一个有限 étale 覆盖上的 proper 且 étale 的堆栈，这是关键的几何结果。
• 阿贝尔簇双覆叠的堆栈等价于阿贝尔概系上挠从上覆叠的 2 次循环覆叠堆栈，且该等价关系在极化阿贝尔簇的模堆栈上是 proper 且 étale 的。
• 从堆栈 G_{g,p} 到类型为 (g, 2g(p−1)) 的极化阿贝尔簇模堆栈的态射是 proper 且 étale 的，从而可通过展开与整点论证实现有限性。