[论文解读] Goodwillie calculus and Mackey functors

Saul Glasman|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文建立了从有限谱到稳定∞-范畴Ε的n-可微函子的∞-范畴与大小至多为n的有限集合上Ε-值Mackey函子范畴之间的等价性。关键结果是通过一个类似于等变稳定同伦论中轨道范畴的指标范畴，对函子演算中的多项式函子进行了新分类，揭示了函子演算与等变同伦论之间深刻的结构相似性。

ABSTRACT

We show that the category of $n$-excisive functors from the $\infty$-category of spectra to a target stable $\infty$-category $\mathbf{E}$ is equivalent to the category of $\mathbf{E}$-valued Mackey functors on an indexing category built from finite sets and surjections. This new classification of polynomial functors arises from an investigation of the structure present on cross effects. The path to this result involves a pair of surprising extension theorems for polynomial functors and a discussion of some interesting topics in semiadditive $\infty$- category theory, including a formula for the free semiadditive $\infty$-category on an $\infty$-category.

研究动机与目标

• 在稳定∞-范畴设定下，使用Mackey函子对n-可微函子建立新的分类。
• 将此分类的指标范畴识别为大小≤n的有限集合与满射构成的范畴，类似于等变同伦论中的轨道范畴。
• 证明n-可微函子的交叉效应恰好等于其关联Mackey函子在有限集合上的取值。
• 通过为n-可微函子引入类似Hill-Hopkins-Ravenel范数的构造，扩展函子演算与等变稳定同伦论之间的类比。
• 通过一系列明确定义且可独立验证的∞-范畴等价关系，提供一种模块化、函子式的等价构造。

提出的方法

• 主要等价关系被构造为六个函子的复合，每个函子本身都被证明是等价的。
• 第一个函子$\Xi^{\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq n}}$，基于Glasman（2015）的结果，将Mackey函子限制到大小≤n的集合上。
• 第二个函子$\phi^*$，将$\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq n}$的有效Ariki范畴上的Mackey函子与该范畴的半加法完备化上的加法函子联系起来。
• 第三个函子$\kappa^*$，将有效Ariki范畴上的加法函子与完整Ariki范畴上的加法函子联系起来。
• 第四个函子$R_n$，是限制到n次齐次函子的局部化之逆，通过左Kan扩张与加法完备化实现。
• 最后两个函子$(\Im_n^*)^{-1}$与$(\iota^*)^{-1}$，分别涉及左Kan扩张与连通覆盖及n-可微化前复合。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过组合指标范畴上的Mackey函子对从有限谱到稳定∞-范畴$\u0395$的n-可微函子进行分类？
• RQ2 函子演算与等变稳定同伦论之间是否存在结构性类比，特别是在轨道范畴与范数方面？
• RQ3 n-可微函子的交叉效应与其关联Mackey函子的取值之间的确切关系是什么？
• RQ4 如何用等变构造描述n-可微逼近$P_n(\Sigma^\infty \Omega^\infty)$？
• RQ5 能否为n-可微函子定义一个类似Hill-Hopkins-Ravenel范数的构造，类似于等变同伦论中的范数？

主要发现

• n-可微函子范畴$\text{Fun}^{n\text{-exc}}(\textbf{Sp}^\omega, \mathbf{E})$与$\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq n}$（即大小至多为n的有限集合与满射构成的范畴）上$\mathbf{E}$-值Mackey函子范畴等价。
• 与n-可微函子$F$关联的Mackey函子$M_F$在有限集合$U$上的取值，同构于$F$在球谱复制上的$U$-索引交叉效应：$M_F(U) \simeq cr_U F(\mathbb{S}, \dots, \mathbb{S})$。
• 该等价关系显式构造为六个函子的复合，每个函子均有已知逆，且其逆由左Kan扩张与局部化过程给出。
• 范数构造$\mathbf{Nm}_n(X)$从对象$X \in \mathbf{E}$构建一个n-可微函子，且主等价关系的逆由$F_M(X) \simeq (\mathbf{Nm}_n(X) \otimes M)(\langle 1 \rangle)$给出，其中$\otimes$为Day卷积。
• 当$n=2$时，轨道范畴$\mathbf{O}_{C_2}$与$\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq 2}$（除去空集）等价，从而导出等价关系$\textbf{Sp}^{C_2} \simeq \mathbf{Mack}(\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq 2}, \textbf{Sp})$，且该等价与范数相容。
• $n$-可微逼近$P_n(\Sigma^\infty \Omega^\infty)$等价于$\mathbf{Nm}_n(\mathbb{S})$，且该范数是对称单一路的，使其成为$\text{Fun}^{n\text{-exc}}(\textbf{Sp}, \textbf{Sp})$上Day卷积的单位。