[论文解读] Goodwillie's calculus and model categories

Georg Biedermann, Boris Chorny+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文在单纯集到单纯集及单纯集到谱的函子上构建了局部化模型结构，实现了对古德温利微积分中多项式与齐次函子的精细分类。它建立了有限型 $n$-齐次函子与具有 $Σ_n$-作用的谱之间的 Quillen 等价，通过两种不同的局部化方法引入有限型条件，从而在古德温利分类的基础上实现了强化。

ABSTRACT

The category of small covariant functors from simplicial sets to simplicial sets supports the projective model structure. In this paper we construct various localizations of the projective model structure and also give a variant for functors from simplicial sets to spectra. We apply these model categories in the study of calculus of functors, namely for a classification of polynomial and homogeneous functors. In the $n$-homogeneous model structure, the $n$-th derivative is a Quillen functor to the category of spectra with $\Sigma_n$-action. After taking into account only finitary functors -- which may be done in two different ways -- the above Quillen map becomes a Quillen equivalence. This improves the classification of finitary homogeneous functors by T. G. Goodwillie.

研究动机与目标

• 为从单纯集到单纯集及到谱的函子构建局部化模型结构。
• 利用这些模型结构对多项式与齐次函子进行分类。
• 通过 Quillen 等价关系，对有限型齐次函子的古德温利分类进行改进。
• 比较在 $n$-齐次模型结构中限制到有限型函子的两种不同方法。
• 证明在有限型限制后，$n$-阶导数函子成为 Quillen 等价。

提出的方法

• 在从单纯集到单纯集的小协变函子上构建投影模型结构。
• 引入投影模型结构的局部化，以分离出多项式与齐次函子。
• 将该构造推广至从单纯集到谱的函子，从而实现谱值的 $n$-阶导数。
• 定义两种不同的局部化过程，以在 $n$-齐次模型结构中限制到有限型函子。
• 证明 $n$-阶导数函子是到具有 $Σ_n$-作用的谱范畴的 Quillen 函子。
• 证明通过任一方法进行有限型限制后，该 Quillen 函子均成为 Quillen 等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过局部化模型结构来实现古德温利微积分中多项式与齐次函子的分类？
• RQ2 有限型函子在改进 $n$-齐次函子分类中起到什么作用？
• RQ3 当限制到有限型函子时，$n$-阶导数函子能否被增强为 Quillen 等价？
• RQ4 在 $n$-齐次设定下，两种不同的有限型限制方法是否产生等价的模型结构？
• RQ5 在此框架中，谱上的 $Σ_n$-等变结构如何自然地从 $n$-阶导数中出现？

主要发现

• 函子的 $n$-阶导数取值于具有 $Σ_n$-作用的谱范畴，且该赋值是一个 Quillen 函子。
• 通过任一方法对有限型函子进行限制后，$n$-阶导数函子成为 Quillen 等价。
• 局部化的 $n$-齐次模型结构为 $n$-齐次函子提供了完整的分类框架。
• 两种不同的有限型限制方法产生等价的 Quillen 等价，证实了分类结果的稳健性。
• 该构造自然地推广至取值于谱的函子，丰富了微积分框架。
• 通过模型论局部化引入有限型条件，本研究在古德温利分类的基础上实现了改进。