[论文解读] Gorenstein categories and Tate cohomology on projective schemes

Edgar E. Enochs, Sergio Estrada+1 more|ArXiv.org|Nov 7, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文引入了Gorenstein范畴——具有有限Gorenstein投射维数与内射维数的Grothendieck范畴——并证明此类范畴允许定义Tate上同调函子与Avramov-Martsinkovsky正合序列。主要贡献在于证明了局部Gorenstein投射概形上的拟相干层范畴是一个Gorenstein范畴，从而在层论设定下实现了模型结构与Tate上同调。

ABSTRACT

We study Gorenstein categories. We show that such a category has Tate cohomological functors and Avramov-Martsinkovsky exact sequences connecting the Gorenstein relative, the absolute and the Tate cohomological functors. We show that such a category has what Hovey calls an injective model structure and also a projective model structure in case the category has enough projectives. As examples we show that if X is a locally Gorenstein projective scheme then the category Qco(X) of quasi-coherent sheaves on $X$ is such a category and so has these features.

研究动机与目标

• 将Gorenstein范畴定义并研究为Gorenstein环上模范畴的推广，尤其关注缺乏足够投射对象的情形。
• 通过内射分解，将Tate上同调与Avramov-Martsinkovsky正合序列推广至缺乏投射生成元的范畴。
• 证明局部Gorenstein投射概形上的拟相干层范畴满足Gorenstein范畴的公理。
• 在该类范畴上建立内射与投射模型结构，推广Hovey的框架。
• 证明在局部Gorenstein概形的拟相干层背景下，Gorenstein内射性是一个局部性质。

提出的方法

• 将Gorenstein范畴定义为具有有限整体有限型投射维数与内射维数的Grothendieck范畴，利用指定生成元为对象分配基数。
• 利用Grothendieck范畴中内射对象的充分性，通过使用内射模的完全分解来定义Gorenstein内射对象。
• 通过既是Gorenstein投射又是Gorenstein内射的完全分解构造Tate上同调函子。
• 应用与概形的quiver的顶点相关的伴随函子对(H^v, D^v)，关联局部与全局的Gorenstein内射性。
• 证明一个拟相干层是Gorenstein内射当且仅当其在每个顶点处的局部化在局部环上是Gorenstein内射的。
• 利用上拉图与可解类与共解类的性质，证明有限投射维数与局部内射性蕴含全局内射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Grothendieck范畴允许定义Tate上同调函子与Avramov-Martsinkovsky正合序列？
• RQ2 Gorenstein投射与内射模的理论能否被推广至缺乏足够投射对象的范畴，如拟相干层范畴？
• RQ3 何种条件可确保一个投射概形的拟相干层范畴是Gorenstein范畴？
• RQ4 一个拟相干层的Gorenstein内射性是否等价于其在所有顶点处的局部化在局部环上均为Gorenstein内射？
• RQ5 能否在局部Gorenstein概形上的拟相干层范畴上定义内射与投射模型结构？

主要发现

• 局部Gorenstein投射概形上的拟相干层范畴具有有限的Gorenstein内射维数，并且此类维数存在一个普遍的上界。
• 通过完全分解，Tate上同调函子在局部Gorenstein投射概形上的拟相干层范畴中是良定义的。
• Avramov-Martsinkovsky正合序列存在于此类范畴中，并连接了Gorenstein相对、绝对与Tate上同调函子。
• 局部Gorenstein概形上的拟相干层范畴同时具有内射与投射模型结构，推广了Hovey的框架。
• 一个拟相干层是Gorenstein内射当且仅当其在相关quiver的每个顶点处的局部化在局部环上是Gorenstein内射的。
• Gorenstein内射拟相干层的类在同态的核（epimorphism的核）下封闭，且有限投射维数的类是可解类。