[论文解读] Gorenstein injective dimension, Bass formula and Gorenstein rings

Leila Khatami, Siamak Yassemi|ArXiv.org|Dec 31, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 5

一句话总结

该论文证明了诺特局部环 $ R $ 是哥罗温斯坦环当且仅当其剩余域 $ k $ 的哥罗温斯坦内射维数有限，从而推广了通过内射维数刻画正则环的经典结果。此外，论文还证明了一个广义的巴思公式：对于交换诺特环 $ S $ 上有限生成且具有有限哥罗温斯坦内射维数的模 $ M $，其哥罗温斯坦内射维数等于 $ M $ 的支撑集中各素理想处局部化环 $ S_{\frak p} $ 的投射维数的上确界，从而扩展了文献中已有的结果。

ABSTRACT

Let $(R,\frak m, k)$ be a noetherian local ring. It is well-known that $R$ is regular if and only if the injective dimension of $k$ is finite. In this paper it is shown that $R$ is Gorenstein if and only if the Gorenstein injective dimension of $k$ is finite. On the other hand a generalized version of the so-called Bass formula is proved for finitely generated modules of finite Gorenstein injective dimension. It also improves Christensen's generalized Bass formula (cf. "Gorenstein dimensions", volume 1747 of Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2000).

研究动机与目标

• 通过剩余域 $ k $ 的哥罗温斯坦内射维数的有限性来刻画哥罗温斯坦局部环。
• 将经典内射维数的巴思公式推广至哥罗温斯坦内射维数的情形。
• 将埃诺克斯、詹达、克里斯滕森等人的结果推广至任意诺特局部环，且无需假设存在对偶复形。
• 建立模的哥罗温斯坦内射维数与其在支撑集中各素理想处局部化的投射维数之间的关系。

提出的方法

• 使用完全内射解析形来定义并分析哥罗温斯坦内射模。
• 应用福克斯比对偶性及通过 $ \mathrm{Ext} $ 函子刻画哥罗温斯坦内射维数：$ \mathrm{Gid}_R M = \sup\{ i \mid \mathrm{Ext}_R^i(J,M) \neq 0 \text{ 对某个满足 } \mathrm{id}_R J < \infty \text{ 的 } J \} $。
• 证明广义巴思公式：对于具有有限哥罗温斯坦内射维数的有限生成 $ S $-模 $ M $，有 $ \mathrm{Gid}_S M = \sup\{ \mathrm{pt}\, S_{\frak p} \mid \frak p \in \mathrm{Supp}(M) \} $。
• 利用局部化和正则序列技巧，建立 $ \mathrm{Gid}_{R/xR}(M/xM) $ 与 $ \mathrm{Gid}_R M $ 之间的关系，表明在消去一个正则元素后，维数至少减少一。
• 运用 $ \mathrm{Ext} $ 函子中的长正合列，并通过投射维数的归纳法，证明广义的伊什贝克型公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 剩余域 $ k $ 的哥罗温斯坦内射维数的有限性是否是诺特局部环 $ R $ 为哥罗温斯坦环的充分必要条件？
• RQ2 经典内射维数的巴思公式能否推广至任意诺特环上有限哥罗温斯坦内射维数的情形？
• RQ3 模的哥罗温斯坦内射维数在局部化及模掉一个正则序列后如何变化？
• RQ4 模 $ M $ 在环 $ S $ 上的哥罗温斯坦内射维数是否依赖于其在 $ M $ 的支撑集中各素理想处局部化环 $ S_{\frak p} $ 的投射维数？

主要发现

• 诺特局部环 $ R $ 是哥罗温斯坦环当且仅当其剩余域 $ k $ 的哥罗温斯坦内射维数有限。
• 对于交换诺特环 $ S $ 上任意有限生成且具有有限哥罗温斯坦内射维数的模 $ M $，$ M $ 的哥罗温斯坦内射维数等于其在支撑集中各素理想 $ \frak p $ 处局部化环 $ S_{\frak p} $ 的投射维数的上确界。
• 若 $ R $ 是准科恩-麦克劳林环，且 $ M $ 是具有有限哥罗温斯坦内射维数的有限生成 $ R $-模，则 $ \mathrm{Gid}_R M = \mathrm{pt}\, R $。
• 对于属于 $ \mathfrak{m} $ 的正则元 $ x $，若 $ x $ 同时是 $ R $-和 $ M $-正则元，则 $ M/xM $ 在 $ R/xR $ 上的哥罗温斯坦内射维数至多比 $ M $ 在 $ R $ 上的维数小一，且当 $ R $ 为准科恩-麦克劳林环时取等。
• 广义伊什贝克公式成立：对局部同态 $ \phi: (R,\mathfrak{m},k) \to (S,\mathfrak{n},l) $，以及在 $ R $ 上具有有限内射维数的有限生成 $ S $-模 $ N $，有 $ \mathrm{pt}\, R = \mathrm{id}_R N $，前提是 $ \mathrm{pt}_R M = 0 $ 或 $ M $ 是 $ R $ 上的有限生成模。