[论文解读] Gowers norms for automatic sequences

Jakub Byszewski, Jakub Konieczny+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2020

semigroups and automata theory参考文献 36被引用 2

一句话总结

该论文将自动序列精细分解为结构化（有理几乎周期）部分与戈弗斯均匀部分，显著优于算术正则性引理。证明了任何与周期序列无相关性的自动序列均具有高度戈弗斯均匀性，并据此推导出自动集内长等差数列的非平凡下界——当等差数列长度至少为5时，这些结果对一般集合不成立。

ABSTRACT

62 pages

研究动机与目标

• 通过比算术正则性引理允许的方式更高效地分离自动序列的结构化与均匀分量，实现其分解的精细化。
• 证明与周期序列正交的自动序列具有高度戈弗斯均匀性，扩展了对Thue–Morse与Rudin–Shapiro序列已知结果的结论。
• 将均匀性结果应用于推导自动集中长等差数列数量的定量下界。
• 表明当等差数列长度至少为5时，此类下界对一般ℕ₀子集不成立，凸显自动序列的特殊结构。

提出的方法

• 使用戈弗斯均匀性范数衡量序列的伪随机性，特别关注由有限自动机生成的自动序列。
• 在受限设定下应用戈弗斯范数的逆定理，通过利用自动机结构避免完整尼尔序列的复杂性。
• 引入并使用有理几乎周期（RAP）序列作为结构化分量，其定义为在贝西科维奇度量下可被周期序列逼近的序列。
• 在自动机的群扩张框架中构造特征因子，特别利用可逆群扩张与正规子群以分离均匀分量。
• 利用同态构造与自动机中的词动力学分析序列对状态与标签的作用，尤其通过同步词与群标签的使用。
• 通过迭代非区分因子构造与群扩张约化证明，建立存在一个与ℤ(m)同构的特征因子，其中m整除k−1。

实验结果

研究问题

• RQ1 自动序列能否以比算术正则性引理所保证更高效的方式分解为结构化部分与戈弗斯均匀部分？
• RQ2 在何种条件下自动序列具有高度戈弗斯均匀性，特别是与周期序列的相关性如何？
• RQ3 戈弗斯均匀性对自动集中等差数列分布的定量影响是什么？
• RQ4 为何当等差数列长度至少为5时，关于等差数列计数的结果对一般ℕ₀子集不成立，而对自动集成立？

主要发现

• 任何与周期序列无相关性的自动序列均具有高度戈弗斯均匀性，即其戈弗斯均匀性范数随N多项式衰减。
• 对于强连通且可延长的自动机，自动序列可分解为有理几乎周期部分与高度戈弗斯均匀部分。
• 分解中的结构化分量为有理几乎周期序列，即一类可在密度意义下被周期序列逼近的序列。
• 本文建立了自动集中l项等差数列数量的非平凡下界，对任意l ≥ 2成立，且下界依赖于自动机结构。
• 当l ≥ 5时，这些下界对一般ℕ₀子集不成立，证明了自动序列具有特殊的伪随机性质。
• 对于自动机的高效群扩张，证明了存在一个与ℤ(m)同构的特征因子，其中m | k−1，从而确认了其结构刚性。