[论文解读] Gröbner Bases of Bihomogeneous Ideals generated by Polynomials of Bidegree (1,1): Algorithms and Complexity

Jean‐Charles Faugère, Mohab Safey El Din+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对由双线性多项式（双次数为(1,1)）生成的双齐次理想计算格罗卜纳基的F5算法专用变体，通过利用雅可比矩阵的结构及最大子式来消除冗余约化。该文建立了通用仿射双线性系统正规性的度数的紧上界为min(nx+1, ny+1)，从而实现了更优的复杂度界，并在实验中相较于经典F5算法取得了显著提速。

ABSTRACT

Solving multihomogeneous systems, as a wide range of structured algebraic systems occurring frequently in practical problems, is of first importance. Experimentally, solving these systems with Gröbner bases algorithms seems to be easier than solving homogeneous systems of the same degree. Nevertheless, the reasons of this behaviour are not clear. In this paper, we focus on bilinear systems (i.e. bihomogeneous systems where all equations have bidegree (1,1)). Our goal is to provide a theoretical explanation of the aforementionned experimental behaviour and to propose new techniques to speed up the Gröbner basis computations by using the multihomogeneous structure of those systems. The contributions are theoretical and practical. First, we adapt the classical F5 criterion to avoid reductions to zero which occur when the input is a set of bilinear polynomials. We also prove an explicit form of the Hilbert series of bihomogeneous ideals generated by generic bilinear polynomials and give a new upper bound on the degree of regularity of generic affine bilinear systems. This leads to new complexity bounds for solving bilinear systems. We propose also a variant of the F5 Algorithm dedicated to multihomogeneous systems which exploits a structural property of the Macaulay matrix which occurs on such inputs. Experimental results show that this variant requires less time and memory than the classical homogeneous F5 Algorithm.

研究动机与目标

• 解释在多齐次系统（特别是双线性系统）上格罗卜纳基计算的实验效率。
• 开发利用双线性系统多齐次结构的算法技术，以减少F5中的冗余约化。
• 推导使用格罗卜纳基求解通用仿射双线性系统的显式复杂度界。
• 分析由双线性多项式生成的双齐次理想的Hilbert级数与关系模结构。
• 通过雅可比核分析识别经典F5准则未检测到的约化为零的情况，从而推广F5准则以适用于双线性输入。

提出的方法

• 通过分析关于x和y变量的雅可比矩阵的核，将F5准则改进以检测并避免双线性系统中的约化为零。
• 证明经典F5准则未捕获的约化为零情况，完全对应于雅可比矩阵的最大子式。
• 利用克莱默法则及雅可比子式矩阵的逆，将一个变量集表示为另一组变量的函数，从而实现变量消去。
• 通过关系模的组合分析，推导出由通用双线性多项式生成的双齐次理想的Hilbert双级数。
• 构建一种利用双线性输入特有Macaulay矩阵结构的多齐次F5算法变体。
• 基于单项式标准型与最大子式首项单项式理想的分析，建立通用仿射双线性系统正规性度数的上界为min(nx+1, ny+1)。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何双线性系统的格罗卜纳基计算时间比同次数的通用齐次系统更快？
• RQ2 双线性系统的何种结构特性使其能够检测到经典F5准则所遗漏的约化为零情况？
• RQ3 通用仿射双线性系统的精确正规性度数是多少？与通用二次系统相比如何？
• RQ4 能否系统性地改进F5算法以利用双线性系统的多齐次结构？
• RQ5 由通用双线性多项式生成的双齐次理想的Hilbert级数是什么？它如何反映关系结构？

主要发现

• 通用仿射双线性系统的正规性度数上界为min(nx+1, ny+1)，显著低于具有m个变量的通用二次系统所对应的m+1上界。
• 由通用双线性多项式生成的双齐次理想的Hilbert双级数，通过关系模的组合结构被显式确定。
• 所提出的多齐次F5变体在双线性系统上相比经典F5算法在时间和内存使用上均表现更优，归因于对冗余约化的更好处理。
• 经典F5准则未检测到的约化为零情况，完全由关于x和y变量的雅可比矩阵的核所刻画。
• 对于通用双线性系统，格罗卜纳基计算的复杂度被界为O( (n_x + n_y + min(n_x+1, n_y+1) choose min(n_x+1, n_y+1) )^ω )，其中ω ∈ [2,3]为线性代数常数。
• 由雅可比矩阵最大子式生成的理想，其格罗卜纳基是其生成元的线性组合，从而在仿射情形下可实现有效的变量消去。