[论文解读] Gröbner-Shirshov bases for some Lie algebras

Yuqun Chen, Li Yu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文为 Drinfeld-Kohno 李代数 $\mathbf{L}_n$ 和与半群 $P$ 关联的 Kukin 李代数 $A_P$ 建立了 Gröbner-Shirshov 基，证明了 $\mathbf{L}_n$ 是一个自由 $\mathbb{Z}$-模，且具有显式的 $\mathbb{Z}$-基。本文通过 Gröbner-Shirshov 基的代数结构，给出了 Kukin 定理的新证明：若半群 $P$ 的词问题不可判定，则其对应的李代数 $A_P$ 的词问题也不可判定。

ABSTRACT

We give Gröbner-Shirshov bases for Drinfeld-Kohno Lie algebra $ extbf{L}_{n}$ in \cite{[Et]} and Kukin Lie algebra $A_P$ in \cite{Kukin}, where $P$ is a semigroup. As applications, we show that as $\mathbb{Z}$-module $ extbf{L}_{n}$ is free and a $\mathbb{Z}$-basis of $ extbf{L}_{n}$ is given. We give another proof of Kukin Theorem: if semigroup $P$ has the undecidable word problem then the Lie algebra $A_P$ has the same property.

研究动机与目标

• 为 $\mathbb{Z}$ 上的 Drinfeld-Kohno 李代数 $\mathbf{L}_n$ 构造 Gröbner-Shirshov 基。
• 利用 Gröbner-Shirshov 基构造 $\mathbf{L}_n$ 的 $\mathbb{Z}$-基，并证明其为自由 $\mathbb{Z}$-模。
• 为 Kukin 定理提供一个新的代数证明：若半群 $P$ 的词问题不可判定，则其对应的李代数 $A_P$ 的词问题也不可判定。
• 通过基的结构证明 $\mathbf{L}_n$ 是自由李代数的迭代半直积。

提出的方法

• 应用域上李代数的组合-钻石引理，利用次数-字典序和 Shirshov 特殊括号化，为 $\mathbf{L}_n$ 构造 Gröbner-Shirshov 基 $S$。
• 验证 $S$ 中所有关系的组合在模 $S$ 下均约化为零，确认 $S$ 是一个 Gröbner-Shirshov 基。
• 利用基 $Irr(S)$ 中的正规 $S$-词，将 $\mathbf{L}_n$ 的 $\mathbb{Z}$-基定义为非结合的 Lyndon-Shirshov 词。
• 通过 Gröbner-Shirshov 基技术分析 $A_P$ 的关系，证明 $P$ 的词问题被 $A_P$ 所继承。
• 利用基的结构证明 $\mathbf{L}_n$ 是自由李代数的迭代半直积。
• 通过保持代数结构，将结果从 $\mathbb{Z}$ 推广至任意含单位元的交换环。

实验结果

研究问题

• RQ1 Drinfeld-Kohno 李代数 $\mathbf{L}_n$ 在 $\mathbb{Z}$ 上是否允许存在 Gröbner-Shirshov 基？
• RQ2 能否利用 Gröbner-Shirshov 基理论显式构造 $\mathbf{L}_n$ 的 $\mathbb{Z}$-基？
• RQ3 半群 $P$ 的词问题是否决定其关联李代数 $A_P$ 的词问题？
• RQ4 $\mathbf{L}_n$ 是否同构于自由李代数的迭代半直积？
• RQ5 通过 Gröbner-Shirshov 基，$P$ 中词问题的不可判定性是否可代数地继承至 $A_P$？

主要发现

• 定义关系集 $S$ 构成 $\mathbf{L}_n$ 在 $\mathbb{Z}$ 上的 Gröbner-Shirshov 基，通过所有组合约化为零得到验证。
• Drinfeld-Kohno 李代数 $\mathbf{L}_n$ 是一个自由 $\mathbb{Z}$-模，其 $\mathbb{Z}$-基为 $Irr(S) = \{[t_{ik_1}t_{ik_2}\cdots t_{ik_m}] \mid t_{ik_1}t_{ik_2}\cdots t_{ik_m} \text{ 是 } T^* \text{ 中的 ALSW}, m \in \mathbb{N}\}$。
• 本文为 Kukin 定理提供了新证明：若 $P$ 的词问题不可判定，则 $A_P$ 的词问题也不可判定，该证明基于 Gröbner-Shirshov 基的结构。
• $\mathbf{L}_n$ 是自由李代数的迭代半直积，其结构由分解 $\mathbf{L}_n = A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots \oplus A_{n-2}$ 表明，其中 $A_i \triangleleft A_i + \cdots + A_{n-2}$。
• 所有结果均可推广至任意含单位元的交换环，而不仅限于 $\mathbb{Z}$，且 Gröbner-Shirshov 基与基结构保持不变。
• 在所有情况下，$S$ 中关系的组合在模 $S$ 下均为平凡，确认该基对 $\mathbf{L}_n$ 是完全且极小的。