[论文解读] Gr\"{o}bner-Shirshov bases for plactic monoids

L. A. Bokut, Yuqun Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Rings, Modules, and Algebras被引用 1

一句话总结

本文利用行生成元和列生成元，为plactic代数构造了Gröbner-Shirshov基，通过Composition-Diamond引理确立了杨表构成线性基。当字母表有限时，列生成元的有限Gröbner-Shirshov基为plactic幺半群中元素的杨表形式提供了新的代数证明，确认了Knuth于1970年提出的结论。

ABSTRACT

We present the plactic algebra on an arbitrary alphabet set $A$ by row generators and column generators respectively. We give Grobner-Shirshov bases for such presentations. In the case of column generators, a finite Grobner-Shirshov basis is given if $A$ is finite. From the Composition-Diamond lemma for associative algebras, it follows that the set of Young tableaux is a linear basis of plactic algebra. As the result, it gives a new proof that Young tableaux are normal forms of elements of plactic monoid. This result was proved by D.E. Knuth \cite{Knuth} in 1970, see also Chapter 5 in \cite{M.L}.

研究动机与目标

• 使用任意字母表上的行和列生成元来呈现plactic代数。
• 为这些plactic代数的表示建立Gröbner-Shirshov基。
• 通过Composition-Diamond引理证明杨表集合构成plactic代数的线性基。
• 为杨表是plactic幺半群中元素的正规形式提供新的代数证明。
• 证明当字母表有限时，使用列生成元表示的plactic代数存在有限Gröbner-Shirshov基。

提出的方法

• 本文使用结合代数的Composition-Diamond引理来分析所给代数。
• 提出了plactic代数的两种表示：一种使用行生成元，另一种使用列生成元。
• 为这两种表示构造了Gröbner-Shirshov基，特别关注列生成元的情形。
• 当字母表有限时，列生成元表示产生有限Gröbner-Shirshov基。
• 证明了代数的正规形式恰好对应于杨表。
• 通过非交换多项式约化的视角分析plactic幺半群的代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为使用行生成元的plactic代数构造Gröbner-Shirshov基？
• RQ2 能否为使用列生成元的plactic代数构造Gröbner-Shirshov基？
• RQ3 Composition-Diamond引理是否意味着杨表构成plactic代数的线性基？
• RQ4 当字母表有限且使用列生成元时，Gröbner-Shirshov基是否有限？
• RQ5 能否通过此方法代数地推导出plactic幺半群中元素的正规形式为杨表？

主要发现

• 通过Composition-Diamond引理，杨表集合构成plactic代数的线性基。
• 当使用列生成元表示且字母表有限时，plactic代数存在有限Gröbner-Shirshov基。
• plactic幺半群的代数结构被列生成元上的Gröbner-Shirshov基完整捕捉。
• plactic幺半群中元素的正规形式恰好是杨表，通过新方法确认了Knuth的结论。
• 使用行和列生成元提供了plactic代数的双重表示，其结构结果等价。