[论文解读] Gr\"obner basis and the automaton property of Hecke--Kiselman algebras

Arkadiusz Mȩcel, Jan Okniński|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2018

Advanced Algebra and Logic被引用 1

一句话总结

本文证明了与有限定向图相关的 Hecke--Kiselman 代数是自动机代数，即其规范字构成一个正则语言。通过在 deg-lex 顺序下的 Gröbner 基理论，证明了当这些代数有限时，其 Gelfand-Kirillov 维数为整数，并进一步表明对于定向环，该代数存在有限 Gröbner 基——解决了先前工作中遗留的一个开放问题。

ABSTRACT

It is shown that the Hecke-Kiselman algebra associated to a finite directed graph is an automaton algebra in the sense of Ufnarovskii. Consequently, its Gelfand-Kirillov dimension is an integer if it is finite. As a consequence, it is proved that the Hecke-Kiselman algebra associated to an oriented cycle admits a finite Gr\"obner basis.

研究动机与目标

• 确定 Hecke--Kiselman 代数在有限定向图上是否为 Ufnarovskii 意义下的自动机代数。
• 解决文献 [10] 中关于有限情况下 Gelfand-Kirillov 维数是否为整数的问题。
• 建立与定向环相关的代数存在有限 Gröbner 基。
• 通过底层幺半群关系的 Gröbner 基分析，证明自动机性质成立。
• 表明自动机性质不能普遍推广至所有定向图，即使在 PI-代数中亦不成立。

提出的方法

• 基于定向图 Θ 的 Hecke--Kiselman 么半群 HKΘ 的定义关系，构建一个约化系统 S'。
• 证明所有 S'-约化字也都是 S-约化字，从而确保约化系统满足钻石引理。
• 应用 Ufnarovskii 的判别准则：若 Gröbner 基的首项构成正则语言，则该代数为自动机代数。
• 在自由么半群上使用 deg-lex 项序，分析规范形，建立规范字语言的正则性。
• 通过分析最小的 S'-约化但 S-可约字，证明对于环图 Cn，Gröbner 基是有限的。
• 构造一个扩展 C3 的四顶点图作为反例，表明即使在 PI-代数中，有限 Gröbner 基也不普遍成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 deg-lex 顺序下，与有限定向图相关的 Hecke--Kiselman 代数是否总存在有限 Gröbner 基？
• RQ2 当有限时，此类代数的 Gelfand-Kirillov 维数是否总是整数？
• RQ3 是否可以为所有定向图上的 Hecke--Kiselman 代数建立自动机性质（即规范字构成正则语言）？
• RQ4 自动机性质是否蕴含有限 GK 维数？即使在代数为 PI-代数时也成立吗？
• RQ5 是否存在 PI-代数且 GK 维数有限但无有限 Gröbner 基的 Hecke--Kiselman 代数的例子？

主要发现

• 对于任意有限定向图 Θ，Hecke--Kiselman 代数 A = k[HKΘ] 是自动机代数，即其规范字构成正则语言。
• 因此，当 A 的 Gelfand-Kirillov 维数有限时，其值必为整数。
• 当 Θ 为定向环 Cn 时，代数 k[HKΘ] 在 deg-lex 顺序下存在有限 Gröbner 基。
• 本文提供了一个反例，表明并非所有定向图的 Hecke--Kiselman 代数都具有有限 Gröbner 基，即使它们是 PI-代数。
• 反例代数的 Gelfand-Kirillov 维数恰好为 2，确认其有限但不具有有限 Gröbner 基。
• 证明的关键在于表明：既 S'-约化又 S-可约的最小字不可能存在，从而确保钻石引理成立，并保证 Gröbner 基的存在性。