[论文解读] Grad and classes with bounded expansion III. restricted dualities

Jaroslav Nešetřil, Patrice Ossona de Mendez|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2005

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 9

一句话总结

该论文为有界扩张类建立了受限同态对偶性，证明了对于任意此类类及奇整数 p，p 次幂图（G^{ atural p}）与精确距离图（G^{[ atural p]}）的色数有界。关键贡献是一项结构分解定理，表明这些类中的图可进行正则着色，使得在少数色类上诱导的子图同态等价于一组有界深度的有限图。

ABSTRACT

We study restricted homomorphism dualities in the context of classes with bounded expansion. This presents a generalization of restricted dualities obtained earlier for bounded degree graphs and also for proper minor closed classes. This is related to distance coloring of graphs and to the ''approximative version'' of Hadwiger conjecture.

研究动机与目标

• 将受限对偶性从有界度和子图封闭图类扩展到更广泛的有界扩张类设置。
• 研究有界扩张类中奇数 p 的图幂 G^{ atural p} 与精确距离图 G^{[ atural p]} 的色数性质。
• 为有界扩张类中的图建立一个正则划分定理，使得在少数色类上诱导的子图同态等价于一组有限的有界深度图。
• 将这些结果与距离着色及 Hadwiger 猜想的近似版本联系起来。

提出的方法

• 利用同态对偶性的概念，以及对禁止同态的有限通用图 U(𝒦,ℱ) 的存在性。
• 应用树深度 p 的概念，并构造一组具有树深度 p 的图 D̂_p，使得任意深度为 p 的图均同态等价于其中某一个。
• 利用有界扩张性质，确保此类同态等价代表的数量有限。
• 将分解定理应用于将顶点集划分为 N 个色类，使得在任意 j 个色类上诱导的子图同态等价于 D̂_p 中的图。
• 通过使用 |V(U(𝒦,ℱ))| 种颜色进行着色，将结构分解转化为色数有界性。
• 依赖定理 4.2 作为基础结果，推导出关于 G^{ atural p} 与 G^{[ atural p]} 色数有界的定理 5.2 和 5.3。

实验结果

研究问题

• RQ1 受限同态对偶性能否从有界度和子图封闭类扩展到有界扩张类？
• RQ2 对于有界扩张类及奇数 p ≥ 1，当 G 的奇圈长 > p 时，G^{ atural p} 的色数是否对所有此类 G 均有统一有界？
• RQ3 在有界扩张类中，对所有 G，精确距离图 G^{[ atural p]} 的色数是否均有统一有界？
• RQ4 能否将有界扩张类中的图划分为有限多个色类，使得在少数色类上诱导的子图同态等价于一组有限的有界深度图？
• RQ5 这些结果如何与距离着色及 Hadwiger 猜想的近似版本相关联？

主要发现

• 对于任意有界扩张类 𝒦 及奇数 p ≥ 1，存在整数 N = N(𝒦, p)，使得对所有满足 odd-girth(G) > p 的 G ∈ 𝒦，均有 χ(G^{ atural p}) ≤ N。
• 对于任意有界扩张类 𝒦 及奇数 p ≥ 1，存在整数 N′ = N′(𝒦, p)，使得对所有 G ∈ 𝒦，均有 χ(G^{[ atural p]}) ≤ N′。
• 对于任意有界扩张类 𝒦 及每个 p ≥ 1，存在有限整数 N，使得每个 G ∈ 𝒦 均可进行 N 种颜色的顶点着色，使得在任意 j 个色类上诱导的子图同态等价于一组有限图 D̂_p（即树深度为 p 的图）中的某一个。
• 结构分解表明，在少数色类上诱导子图的可能连通分量类型数量有限且统一有界。
• 这些结果推广了早期针对有界度和子图封闭类的对偶性，并为稀疏图提供了正则划分框架。
• 该框架支持对定理 4.2 的替代证明，并与系列-并联图中同态序的普遍性相关联。