[论文解读] Graded contact manifolds and principal Courant algebroids

Janusz Grabowski|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

本文提出了一套用于接触结构与雅可比结构的分级超流形框架，将接触流形解释为带有相容分次的辛主 GL(1,R)-丛。研究证明线性接触结构恰好对应于线丛一阶喷层上的典范接触结构，由此引出基灵代数超代数——这是将向量场替换为一阶微分算子的李代数超代数的推广——并通过提升过程构建了接触代数超代数的类似结构。

ABSTRACT

We develop a systematic approach to contact and Jacobi structures on graded supermanifolds. In this framework, contact structures are interpreted as symplectic principal GL(1,R)-bundles. Gradings compatible with the GL(1,R)-action lead to the concept of a graded contact manifold, in particular a linear (more generally, n-linear) contact structure. Linear contact structures are proven to be exactly the canonical contact structures on first jets of line bundles. They provide linear Kirillov (or Jacobi) brackets and give rise to the concept of a Kirillov algebroid, an analog of a Lie algebroid, for which the corresponding cohomology operator is represented not by a vector field (de Rham derivative) but a first-order differential operator. It is shown that one can view Kirillov or Jacobi brackets as homological Hamiltonians on linear contact manifolds. Contact manifolds of degree 2 are studied, as well as contact analogs of Courant algebroids. We define lifting procedures that provide us with constructions of canonical examples of the structures in question.

研究动机与目标

• 开发一套系统化的框架，用于研究分级超流形上的接触与雅可比结构。
• 将接触结构解释为带有相容分次的辛主 GL(1,R)-丛。
• 将线性接触结构表征为线丛一阶喷层上的典范结构。
• 将基灵代数超代数定义为以一阶微分算子代替向量场作为上同调算子的李代数超代数的类比结构。
• 通过提升过程构建接触代数超代数的类比结构，并提供典范例子。

提出的方法

• 将接触结构表示为定义在分级超流形上的辛主 GL(1,R)-丛。
• 利用与 GL(1,R)-作用相容的分次结构来定义分级接触流形，包括线性与 n-线性结构。
• 将线性接触结构表征为线丛一阶喷层上的典范接触结构。
• 将基灵代数超代数建模为上同调算子为一阶微分算子而非向量场的结构。
• 通过辛结构将雅可比括号视为线性接触流形上的同调哈密顿量。
• 利用分级辛框架中的提升过程，构建接触代数超代数的类比结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过主 GL(1,R)-丛系统地描述分级超流形上的接触结构？
• RQ2 线性接触结构与线丛一阶喷层之间的确切关系是什么？
• RQ3 当上同调算子为一阶微分算子而非向量场时，基灵代数超代数如何推广李代数超代数？
• RQ4 雅可比括号在何种意义上作为线性接触流形上的同调哈密顿量出现？
• RQ5 接触代数超代数的结构与上同调性质是什么？

主要发现

• 线性接触结构恰好是线丛一阶喷层上的典范接触结构。
• 基灵代数超代数被识别为李代数超代数的自然类比结构，其上同调算子为一阶微分算子而非向量场。
• 分级超流形上的雅可比括号可通过辛结构解释为线性接触流形上的同调哈密顿量。
• 度数为 2 的接触流形可自然构造出接触代数超代数的类比结构。
• 建立了生成分级接触结构与基灵代数超代数典范例子的提升过程。
• 该框架通过带有相容分次的辛主 GL(1,R)-丛，为雅可比结构提供了几何实现。