[论文解读] Graded quotients of ramification groups of local fields with imperfect residue fields

Takeshi Saito|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文证明了在特征 $p > 0$ 的非完美剩余域的 henselian 离散赋值域中，分歧群的分次商是 $\mathbf{F}_p$-向量空间。通过两种证明方法——化归到完美剩余域情形与利用余切复形的几何构造——建立了每个分次商的特征群到一个扭曲余切空间的单射，推广了 Kato 的精细 Swan 指标，并为混合特征情形中构造特征循环奠定了基础。

ABSTRACT

We prove that the graded quotients of the filtration by ramification groups of any henselian discrete valuation field of residue characteristic $p>0$ are $F_p$-vector spaces. We define an injection of the character group of each graded quotient to a twisted cotangent space defined using a cotangent complex.

研究动机与目标

• 证明在具有非完美剩余域的局部域中，分歧群的分次商是 $\mathbf{F}_p$-向量空间。
• 通过利用余切复形的几何构造，将精细 Swan 指标推广到非完美剩余域情形。
• 通过化归到经典完美剩余域情形，对上编号分歧过滤提供函子性刻画。
• 通过单射 (4.20) 为在混合特征情形中构造可构造层的特征循环奠定基础。

提出的方法

• 通过构造一个具有完美剩余域的切向主导扩张 $K'$，利用余切复形的函子性，将问题化归到经典情形。
• 在 $\bar{F}$ 上对向量空间 $\Theta^{(r)}$ 构造一个 Galois 覆叠，其 Galois 群为 $\mathrm{Gr}^rG$，并利用覆盖上的光滑群概形结构。
• 应用第 2.2 节中的通用准则，证明该覆盖是群概形的态射，从而可在余切复形中使用 $\mathrm{Tor}_1$-计算。
• 将特征形式 (4.20) 定义为单射 $\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr}^rG, \mathbf{F}_p) \to \mathrm{Hom}_{\bar{F}}(\mathfrak{m}_{\bar{K}}^r / \mathfrak{m}_{\bar{K}}^{r+}, H_1(L_{\bar{F}/S}))$，其来源于余切复形 $L_{\bar{F}/S}$。
• 利用包含 $H_1(L_{\bar{F}/S})$、$\mathfrak{m}_K / \mathfrak{m}_K^2 \otimes_F \bar{F}$ 与 $\Omega^1_F \otimes_F \bar{F}$ 的精确序列 (0.1)，将切空间与余切复形联系起来。
• 在域扩张下，单射 (4.20) 具有函子性，通过交换图 (4.19) 和 (4.23) 展示了在分歧指数缩放下的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 $p > 0$ 的非完美剩余域的 henselian 离散赋值域中，其 Galois 群的上编号分歧过滤的分次商 $\mathrm{Gr}^rG = G^r / G^{r+}$ 是否必为 $\mathbf{F}_p$-向量空间？
• RQ2 能否通过涉及余切复形的几何构造，将精细 Swan 指标推广到非完美剩余域情形？
• RQ3 从 $\mathrm{Gr}^rG$ 的特征到扭曲余切空间的单射 (4.20) 是否提供了分歧过滤的典范、函子性不变量？
• RQ4 切向主导扩张在将一般情形化归到经典完美剩余域情形中起什么作用？
• RQ5 野生分歧群 $P = G^{1+}$ 如何作用于 $\mathrm{Gr}^rG$？这会对分歧指数和 $r$ 的分母施加何种限制？

主要发现

• 对所有 $r > 1$，分次商 $\mathrm{Gr}^rG = G^r / G^{r+}$ 被证明是 $\mathbf{F}_p$-向量空间，推广了完美剩余域情形下的经典结果。
• 构造了单射 (4.20)：$\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr}^rG, \mathbf{F}_p) \to \mathrm{Hom}_{\bar{F}}(\mathfrak{m}_{\bar{K}}^r / \mathfrak{m}_{\bar{K}}^{r+}, H_1(L_{\bar{F}/{\mathcal{O}}_K}))$，推广了 Kato 的非对数精细 Swan 指标。
• 单射 (4.20) 在域扩张下保持函子性，如交换图 (4.19) 所示，确保了其相容性。
• 野生分歧群 $P = G^{1+}$ 在 $\mathrm{Gr}^rG$ 上作用平凡，且若 $\mathrm{Gr}^rG \neq 1$，则 $r$ 的分母的非 $p$-部分整除分歧指数 $e_{L/K}$。
• 对于满足 $e_{K'/K} \neq 1$ 的扩张 $K' / K$，将 (4.20) 与态射 $H_1(L_{\bar{F}/{\mathcal{O}}_K}) \to \Omega^1_{S/S_0} \otimes_{\mathcal{O}_S} \bar{F}$ 组合，得到一个单射 (4.22)，该单射同样具有函子性。
• 通过在 $H_1(L_{\bar{F}/S})$ 上取对称代数，构造了切空间 $\Theta_{K,\bar{F}} = \mathrm{Spec}\, S(H_1(L_{\bar{F}/S}))$，为分歧数据提供了几何模型，且 $H_1(L_{\bar{F}/S})$ 位于精确序列 (0.1) 中。