[论文解读] Graded von Neumann regularity of rings graded by semigroups

Daniel Lännström, Johan Öinert|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2022

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 1

一句话总结

本文对半群-分次环的分次冯诺依曼正则性提供了完整的刻画，将先前关于群-分次环的结果推广至半群-分次设置。研究证明，此类环是分次冯诺依曼正则的充分必要条件是其为近乎ε-强分次且在幂等元上的齐次分量为冯诺依曼正则，该结果在矩阵环与广群-分次环中有应用。

ABSTRACT

In this article, we give a complete characterization of semigroup graded rings which are graded von Neumann regular. We also demonstrate our results by applying them to several classes of examples, including matrix rings and groupoid graded rings.

研究动机与目标

• 将分次冯诺依曼正则环的理论从群-分次推广至半群-分次环。
• 在半群分次的背景下，对分次冯诺依曼正则性提供完整的代数刻画。
• 将关于非单位元群-分次环的先前结果推广至更广泛的半群框架。
• 将该刻画应用于具体环类，包括矩阵环与广群-分次环。
• 在非单位元设定下，建立分次结构（ε-强性）与正则性条件之间的联系。

提出的方法

• 引入并分析半群-分次环的对称、强、ε-强及近乎ε-强分次的概念。
• 通过条件定义分次冯诺依曼正则性：对所有 s ∈ S, r ∈ Rs, t ∈ V(s)，存在 y ∈ Rt 使得 r = ryr。
• 利用近乎ε-强分次与存在局部单位 ǫs,t(r) 满足 ǫs,t(r)r = r = rǫ′t,s(r) 的等价性。
• 通过证明 Mn(A) 是分次冯诺依曼正则当且仅当 A 是冯诺依曼正则，将该刻画应用于矩阵环。
• 从广群 G 构造一个逆半群 S(G)，并将 G-分次提升为 S(G)-分次，以将结果推广至广群-分次环。
• 证明分次冯诺依曼正则性与近乎ε-强分次及幂等元处分量正则性的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种条件可确保一个半群-分次环为分次冯诺依曼正则？
• RQ2 分次冯诺依曼正则性的概念如何从群-分次推广至半群-分次环？
• RQ3 近乎ε-强分次在刻画分次冯诺依曼正则性中起何种作用？
• RQ4 矩阵环与广群-分次环如何融入该推广框架？
• RQ5 幂等元处齐次分量的正则性是否足以完全决定分次冯诺依曼正则性？

主要发现

• 半群-分次环 R 是分次冯诺依曼正则当且仅当其为近乎ε-强分次且对每个 e ∈ E(S)，Re 为冯诺依曼正则。
• 对由半群 S 分次的矩阵环 Mn(A)，Mn(A) 是分次冯诺依曼正则当且仅当 A 是冯诺依曼正则。
• 从广群 G 构造逆半群 S(G) 的方法可将 G-分次提升为 S(G)-分次，同时保持分次结构。
• 广群 G-分次环 R 是分次冯诺依曼正则当且仅当其为近乎ε-强 G-分次且对每个 e ∈ ob(G)，Re 为冯诺依曼正则。
• 近乎ε-强分次与存在局部单位 ǫs,t(r) 满足 ǫs,t(r)r = r = rǫ′t,s(r) 的等价性对所有 r ∈ Rs 成立。
• 该结果推广了 [4, 定理 1.2] 与 [1, 命题 3.5] 至半群-分次设定，统一并扩展了关于非单位元分次环的先前工作。