[论文解读] Gradient blow-up rates and sharp gradient estimates for diffusive Hamilton-Jacobi equations

Amal Attouchi, Philippe Souplet|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 47被引用 10

一句话总结

该论文为有界凸区域中扩散型Hamilton-Jacobi方程 $u_t - \Delta u = |\nabla u|^p + h(x)$ 在 $2 < p < 3$ 时的经典解建立了精确的梯度爆破速率，证明了时间递增解的最优时间估计 $\|\nabla u(t)\|_\infty \sim (T-t)^{-1/(p-2)}$。论文提出了一种新的具有精确常数的Bernstein型梯度估计，其中涉及到边界距离，首次将空间与时间的爆破行为联系起来。

ABSTRACT

Consider the diffusive Hamilton-Jacobi equation $$u_t-\\Delta u=|\ abla u|^p+h(x)\\ \\ \ ext{ in } \\Omega\ imes(0,T)$$ with Dirichlet conditions, which arises in stochastic control problems as well as in KPZ type models. We study the question of the gradient blowup rate for classical solutions with $p&gt;2$. We first consider the case of time-increasing solutions. For such solutions, the precise rate was obtained by Guo and Hu (2008) in one space dimension, but the higher dimensional case has remained an open question (except for radially symmetric solutions in a ball). Here, we partially answer this question by establishing the optimal estimate $$C_1(T-t)^{-1/(p-2)}\\leq \\|\ abla u(t)\\|_{\\infty} \\leq C_2(T-t)^{-1/(p-2)} \ ag{1}$$ for time-increasing gradient blowup solutions in any convex, smooth bounded domain $\\Omega$ with $2&lt;p&lt;3$. We also cover the case of (nonradial) solutions in a ball for $p=3$. Moreover we obtain the almost sharp rate in general (nonconvex) domains for $2&lt;p\\le 3$. The proofs rely on suitable auxiliary functionals, combined with the following, new Bernstein-type gradient estimate with sharp constant: $$|\ abla u|\\le d_\\Omega^{-1/(p-1)}\\bigl(d_p+C d_\\Omega^\\alpha\\bigr) \\ \\ \ ext{ in } \\Omega\ imes(0,T),\\qquad d_p=(p-1)^{-1/(p-1)}, \ ag{2}$$ where $d_\\Omega$ is the function distance to the boundary. This close connection between the temporal and spatial estimates (1) and (2) seems to be a completely new observation. Next, for any $p&gt;2$, we show that more singular rates may occur for solutions which are $\ extit{not}$ time-increasing. Namely, for a suitable class of solutions in one space-dimension, we prove the lower estimate $\\|u_x(t)\\|_\\infty \\geq C(T-t)^{-2/(p-2)}$.

研究动机与目标

• 确定扩散型Hamilton-Jacobi方程在 $p>2$ 时经典解的空间梯度的精确时间爆破速率。
• 将已知的一维梯度爆破速率结果推广至高维凸区域。
• 建立一种新的具有最优常数的Bernstein型梯度估计，其中涉及到到边界距离。
• 分析非时间递增解，识别出更具奇性的爆破速率。
• 通过一种新颖的函数估计，阐明空间与时间梯度爆破行为之间的联系。

提出的方法

• 推导一种新的Bernstein型梯度估计：$|\nabla u| \leq d_\Omega^{-1/(p-1)}\bigl{(}d_p + C d_\Omega^\alpha\bigr{)}$，其中 $d_p = (p-1)^{-1/(p-1)}$，$d_\Omega$ 表示到边界的距离。
• 构造辅助泛函以控制 $\|\nabla u(t)\|_\infty$ 的演化，并推导其上下界。
• 应用最大值原理控制时间导数 $u_t$，并推导其在爆破时刻附近消失速率的上界。
• 利用对称性与零数量性质，针对一维最小梯度爆破解建立精确的下界。
• 将新梯度估计与时间依赖的能量型估计相结合，推导出最优爆破速率。
• 分析最小解在 $t=T$ 附近 $u_t$ 的行为，表明 $u_t \leq M(T-t)$，从而可获得 $\|\nabla u(t)\|_\infty$ 的更紧下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $2 < p < 3$ 的高维凸区域中，时间递增解的 $\|\nabla u(t)\|_\infty$ 的精确时间爆破速率是什么？
• RQ2 是否可以利用具有到边界距离依赖性的精确梯度估计，在一般区域中推导出最优爆破速率？
• RQ3 非时间递增解是否表现出比标准速率 $(T-t)^{-1/(p-2)}$ 更具奇性的梯度爆破速率？
• RQ4 空间与时间爆破行为之间的相互作用在梯度估计中如何体现？
• RQ5 初始数据与解的对称性在确定爆破形态与速率中起什么作用？

主要发现

• 对于 $2 < p < 3$ 时在光滑有界凸区域中的时间递增解，梯度爆破速率被最优地估计为 $C_1(T-t)^{-1/(p-2)} \leq \|\nabla u(t)\|_\infty \leq C_2(T-t)^{-1/(p-2)}$。
• 该论文首次在高维情形下为 $p \in (2,3)$ 建立了精确的时间爆破速率，拓展了先前的一维结果。
• 推导出一种新的具有精确常数的Bernstein型梯度估计：$|\nabla u| \leq d_\Omega^{-1/(p-1)}\bigl{(}(p-1)^{-1/(p-1)} + C d_\Omega^\alpha\bigr{)}$，这对分析至关重要。
• 对于一维中非时间递增解，证明了更具奇性的爆破速率：$\|u_x(t)\|_\infty \geq C(T-t)^{-2/(p-2)}$。
• 空间梯度估计与时间爆破速率之间的联系被识别为一种新颖且根本性的洞见。
• 证明依赖于对 $u_t$ 的精细上界估计，表明对于最小梯度爆破解有 $u_t \leq M(T-t)$，从而可推导出更紧的下界。