[论文解读] Gradient discretization of Hybrid Dimensional Darcy Flows in Fractured Porous Media with discontinuous pressures at the matrix fracture interfaces

Konstantin Brenner, Julian Hennicker+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 7被引用 5

一句话总结

该论文将梯度离散化框架扩展至具有矩阵-裂缝界面压力不连续性的裂缝多孔介质中杂交维达西流问题，实现了对一般网格和各向异性渗透率的收敛性分析。提出了并分析了顶点近似梯度（VAG）和混合有限体积（HFV）格式，证明了其最优收敛速率，并显示VAG在各向异性设置下相较于HFV具有更优的效率。

ABSTRACT

We investigate the discretization of Darcy flow through fractured porous media on general meshes. We consider a hybrid dimensional model, invoking a complex network of planar fractures. The model accounts for matrix-fracture interactions and fractures acting either as drains or as barriers, i.e. we have to deal with pressure discontinuities at matrix-fracture interfaces. The numerical analysis is performed in the general framework of gradient discretizations which is extended to the model under consideration. Two families of schemes namely the Vertex Approximate Gradient scheme (VAG) and the Hybrid Finite Volume scheme (HFV) are detailed and shown to satisfy the gradient scheme framework, which yields, in particular, convergence. Numerical tests confirm the theoretical results. Gradient Discretization; Darcy Flow, Discrete Fracture Networks, Finite Volume

研究动机与目标

• 解决矩阵-裂缝界面存在压力不连续性时，杂交维达西流模型缺乏收敛性分析的问题。
• 将梯度格式框架扩展以适应复杂裂缝网络，包括完全、部分及非嵌入裂缝，以及裂缝交汇处。
• 在一般多面体网格上，为具有不连续压力模型的VAG与HFV格式提供统一的数值分析。
• 在扩展的梯度格式框架下，证明VAG与HFV格式的收敛性，包括对分段光滑解的最优收敛速率。
• 比较VAG与HFV格式在各向异性渗透率设置下的效率与精度，以指导多相流模拟中的实际应用。

提出的方法

• 将梯度格式框架扩展至具有矩阵-裂缝界面压力不连续性的杂交维达西模型，实现对一般网格的收敛性分析。
• 提出两类格式：顶点近似梯度（VAG）与混合有限体积（HFV），二者均适配于具有压力跳跃的杂交维模型。
• 开发VAG格式的两个版本：基于四面体子网格的符合P1有限元版本，以及采用集中法处理通量与源项的非符合控制体积版本。
• 为VAG与HFV格式引入统一的有限体积格式，以支持在多相流模拟中的实现。
• 应用梯度格式框架的理论收敛结果，证明对分段光滑解的收敛阶为1。
• 通过解析解的数值实验验证理论收敛速率，并比较两种格式在精度与CPU时间方面的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 梯度格式框架能否扩展以处理矩阵-裂缝界面存在压力不连续性的杂交维达西流？
• RQ2 当VAG与HFV格式适配于具有压力跃迁的杂交维模型时，是否满足梯度格式框架的收敛性质？
• RQ3 在存在压力不连续性的情况下，VAG与HFV格式对分段光滑解的收敛速率是多少？
• RQ4 在各向异性渗透率下，VAG与HFV格式在精度与计算成本方面如何比较？
• RQ5 VAG格式的集中形式是否保持与符合P1有限元版本相当的精度与收敛速率？

主要发现

• VAG与HFV格式成功集成到扩展的梯度格式框架中，确保了具有压力不连续性的杂交维达西模型的收敛性。
• 对于分段光滑解，VAG与HFV格式均实现了理论框架预测的最优收敛阶1。
• 在结构化网格上，VAG与HFV格式对解与梯度均实现二阶收敛，且VAG在裂缝界面具有更高的自由度。
• 在各向异性渗透率下，VAG格式在精度-耗时比方面优于HFV，尤其在四面体网格上表现更优。
• 集中形式的VAG格式与符合P1有限元版本具有相同的收敛速率与精度，证实其鲁棒性与高效性。
• 数值结果表明，HFV在相同网格下通常比VAG更精确，但其计算成本显著更高，因此VAG整体上更具效率。