[论文解读] Gradient estimate and log-Harnack inequality for reflected SPDEs driven by multiplicative noises

Bin Xie|arXiv (Cornell University)|May 3, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本论文通过惩罚法与比较原理，为带乘性噪声的反射随机偏微分方程（SPDEs）建立了梯度估计与对数-哈纳克不等式。主要贡献在于推导出能蕴含强费勒性质、不变测度唯一性以及相对于不变测度的密度估计的泛函不等式。

ABSTRACT

In this paper, the gradient estimate and the log-Harnack inequality for the stochastic partial differential equation with reflection and driven by multiplicative noises are mainly investigated. To our purposes, the penalization method and the comparison principle for stochastic partial differential equations are adopted. We also apply the log-Harnack inequality to the study of the strong Feller property, uniqueness of invariant measures, the entropy-cost inequality, and some estimates of the transition density relative to its invariant measure.

研究动机与目标

• 为由乘性噪声驱动的反射SPDE推导梯度估计与对数-哈纳克不等式。
• 通过泛函不等式研究相关马尔可夫过程的长期行为。
• 利用对数-哈纳克不等式建立强费勒性质与不变测度的唯一性。
• 通过熵-代价不等式，利用对数-哈纳克不等式提供相对于不变测度的转移密度估计。

提出的方法

• 采用惩罚法，通过趋于零的漂移修正项，将反射SPDE近似为一系列非反射SPDE。
• 应用SPDE的比较原理，控制解的路径行为并确保收敛性。
• 通过梯度估计与转移半群上的伊藤公式推导对数-哈纳克不等式。
• 利用对数-哈纳克不等式推导强费勒性质与熵-代价不等式。
• 通过分析对数-哈纳克不等式下的不变测度，建立唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为带乘性噪声的反射SPDE建立梯度估计？
• RQ2 此类SPDE的对数-哈纳克不等式具有何种结构，其与底层动态之间有何关系？
• RQ3 对数-哈纳克不等式是否能蕴含相关马尔可夫过程的强费勒性质？
• RQ4 对数-哈纳克不等式在多大程度上能保证不变测度的唯一性？
• RQ5 如何利用对数-哈纳克不等式估计相对于不变测度的转移密度？

主要发现

• 为带乘性噪声的反射SPDE的转移半群建立了梯度估计。
• 通过惩罚法与比较原理推导出对数-哈纳克不等式。
• 对数-哈纳克不等式蕴含相关马尔可夫过程的强费勒性质。
• 在对数-哈纳克不等式框架下证明了不变测度的唯一性。
• 通过利用对数-哈纳克不等式，获得了熵-代价不等式及相对于不变测度的转移密度估计。