[论文解读] Gradient estimates for singular $p$-Laplace type equations with measure data

Hongjie Dong, Hanye Zhu|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文针对 $ p \in (1, \frac{3n-2}{2n-1}] $ 的奇异 $ p $-Laplace 型方程与测度数据，建立了尖锐的内部与全局梯度估计，该范围此前尚未被完全覆盖。通过使用截断 Riesz 潜势 $ \mathbf{I}_1^R(|\mu|) $ 代替先前的 Wolff 潜势，并在系数的 Dini 型连续性条件更弱、模连续性下界可积性假设更弱的条件下，改进了已有结果。

ABSTRACT

We are concerned with interior and global gradient estimates for solutions to a class of singular quasilinear elliptic equations with measure data, whose prototype is given by the $p$-Laplace equation $-Δ_p u=μ$ with $p\in (1,2)$. The cases when $p\in \big(2-\frac 1 n,2\big)$ and $p\in \big(\frac{3n-2}{2n-1},2-\frac{1}{n}\big]$ were studied in [9] and [22], respectively. In this paper, we improve the results in [22] and address the open case when $p\in \big(1,\frac{3n-2}{2n-1}\big]$. Interior and global modulus of continuity estimates of the gradients of solutions are also established.

研究动机与目标

• 解决当 $ p \in (1, \frac{3n-2}{2n-1}] $ 时，奇异 $ p $-Laplace 方程与测度数据的梯度估计这一开放问题，该范围此前未被先前工作完全覆盖。
• 通过弱化向量场 $ A(x,\xi) $ 与模连续性 $ \omega $ 的正则性假设，改进 [22] 中的现有结果。
• 在最小结构与正则性条件下，建立解的梯度的内部与全局模连续性估计。
• 通过使用截断一阶 Riesz 潜势 $ \mathbf{I}_1^R(|\mu|) $，提供点态梯度界，该方法比先前使用的 Wolff 潜势更自然且更强。

提出的方法

• 在 $ p \in (1,2) $ 的奇异 $ p $-Laplace 方程背景下，通过改进的迭代方法推导内部点态梯度估计。
• 将截断 Riesz 潜势 $ \mathbf{I}_1^R(|\mu|)(x) = \int_0^R \frac{|\mu|(B_t(x))}{t^{n-1}} \frac{dt}{t} $ 作为控制梯度增长的主要潜势。
• 引入一个新的极大函数 $ \mathbf{M}_1 $，结合 $ |\nabla u|+s $ 的 $ L^{2-p} $-范数与 Riesz 潜势的 $ L^\infty $-范数，以控制振荡。
• 利用 dyadic 分解与球上的平均技术控制 $ \nabla u $ 的振荡，依赖于 Dini 条件 $ \int_0^1 \omega(r) \frac{dr}{r} < \infty $。
• 定义一个改进的 Wolff 潜势 $ \tilde{\mathbf{W}}_{1/p,p}^\rho(|\mu|) $ 与 Riesz 潜势 $ \tilde{\mathbf{I}}_1^\rho(|\mu|) $，以在小球内局部化估计。
• 通过结合 $ \nabla u $ 振荡的衰减与潜势项的衰减，建立全局模连续性估计，采用参数 $ \alpha_1 \in (0,\alpha) $ 实现 Hölder 型控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $ p \in (1, \frac{3n-2}{2n-1}] $ 时，为奇异 $ p $-Laplace 方程与测度数据建立尖锐的点态梯度估计？
• RQ2 能否在正则性假设更弱的条件下，将先前结果中对 Wolff 潜势的依赖替换为更自然且更强的 Riesz 潜势 $ \mathbf{I}_1^R(|\mu|) $？
• RQ3 在测度数据 $ \mu $ 与 Dini 模 $ \omega $ 的条件下，$ \nabla u $ 的最优模连续性是什么？
• RQ4 与先前工作相比，能否弱化 $ A(x,\xi) $ 与 $ \omega $ 的正则性假设，特别是在奇异范围 $ p \in (1,2) $ 内？
• RQ5 梯度的振荡在小球内如何衰减？Dini 条件在 $ \omega $ 中对此衰减起什么作用？

主要发现

• 本文建立了新的内部点态梯度估计：对于 $ p \in (\frac{3n-2}{2n-1}, 2) $，在 Lebesgue 点处有 $ |\nabla u(x)| \leq C[\mathbf{I}_1^R(|\mu|)(x)]^{1/(p-1)} + C\left(\fint_{B_R(x)}(|\nabla u|+s)^{2-p}\,dy\right)^{1/(2-p)} $。
• Riesz 潜势 $ \mathbf{I}_1^R(|\mu|) $ 提供了比 [22] 中使用的 Wolff 潜势 $ \mathbf{P}_\gamma^R(|\mu|) $ 更强的控制，因为当 $ \gamma < 1 $ 时有 $ \mathbf{I}_1^R(|\mu|) \leq C \mathbf{P}_\gamma^{2R}(|\mu|)^{1/\gamma} $，且新界在 $ \omega $ 与 $ A $ 的假设更弱时仍成立。
• 推导出全局模连续性估计：$ |\nabla u(x) - \nabla u(y)| \leq C \left[ \left(\frac{\rho}{R}\right)^{\alpha_1} + \int_0^\rho \frac{\tilde{\omega}_1(t)}{t} dt \right] + C \|\tilde{\mathbf{W}}_{1/p,p}^\rho(|\mu|)\|_{L^\infty} + C \mathbf{M}_1^{2-p} \|\tilde{\mathbf{I}}_1^\rho(|\mu|)\|_{L^\infty} $，其中 $ \rho = |x-y| $，在 Dini 连续性与 $ \alpha_1 $-Hölder 控制下成立。
• 估计中的常数仅依赖于 $ n, p, \lambda, \omega $ 与 $ R_0 $，无需 [22] 中所需的更强 Dini 型条件 $ \int_0^1 \omega^\gamma(r) \frac{dr}{r} < \infty $。
• 结果扩展至完整范围 $ p \in (1, \frac{3n-2}{2n-1}] $，填补了奇异 $ p $-Laplace 方程与测度数据在文献中的空白。
• 该方法依赖于 dyadic 分解与极大函数技术的创新应用以控制振荡，其关键创新在于在奇异情形下使用 Riesz 潜势而非 Wolff 潜势。