[论文解读] Gradient Gibbs measures and fuzzy transformations on trees

Christof Kuelske, Philipp Schriever|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用 14

一句话总结

本文發展了一套理論，將樹上的邊界定律與梯度吉布斯測度（GGMs）聯繫起來，將範疇從可歸一化的邊界定律擴展至週期性邊界定律。透過混合 pinned 測度（其邊際分佈為在 q-週期環境中的隨機漫步），構造出樹自同構不變的 GGMs，這些測度受 mod-q 模糊馬可夫鏈所控制，從而為 SOS 模型與離散高斯模型等建立了一大類 GGMs，即使在標準吉布斯測度不存在的情況下亦成立。

ABSTRACT

We study Gibbsian models of unbounded integer-valued spins on trees which possess a symmetry under height-shift. We develop a theory relating boundary laws to gradient Gibbs measures, which applies also in cases where the corresponding Gibbs measures do not exist. Our results extend the classical theory of Zachary beyond the case of normalizable boundary laws, which implies existence of Gibbs measures, to periodic boundary laws. We provide a construction for classes of tree-automorphism invariant gradient Gibbs measures in terms of mixtures of pinned measures, whose marginals to infinite paths on the tree are random walks in a q-periodic environment. Here the mixture measure is the invariant measure of a finite state Markov chain which arises as a mod-q fuzzy transform, and which governs the correlation decay. The construction applies for example to SOS-models and discrete Gaussian models and delivers a large number of gradient Gibbs measures. We also discuss relations of certain gradient Gibbs measures to Potts and Ising models.

研究动机与目标

• 將 Zachary 的古典邊界定律理論從可歸一化邊界定律擴展至包含週期性解。
• 在標準吉布斯測度不存在的區域，構造樹自同構不變的梯度吉布斯測度（GGMs）。
• 透過 pinned 測度的混合，將 GGMs 與在 q-週期環境中的隨機漫步聯繫起來。
• 透過模糊轉換，建立 GGMs 與 Potts/Ising 模型之間的關聯。
• 證明樹上層依賴鏈的混合在樹度數小於 3 時可能不具吉布斯性，強調樹度數 ≥3 對此類構造的必要性。

提出的方法

• 針對具有高度平移對稱性的正則樹上無界整數自旋，引入廣義邊界定律框架。
• 定義梯度吉布斯測度為無限路徑上 pinned 測度的投影極限，其邊際分佈為在 q-週期環境中的隨機漫步。
• 將混合測度構造為由邊界定律的 mod-q 模糊轉換所產生的有限狀態馬可夫鏈的不變分佈。
• 利用轉移矩陣與邊界定律之間的對應關係，透過模糊鏈的不變測度推導出 GGMs。
• 證明所得到的 GGMs 並非任何吉布斯測度的投影，因而處於去局域化區域。
• 分析一維類比中吉布斯性質的失效，顯示混合下遠端鍵的條件機率會失去擬局部性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何將邊界定律理論從可歸一化性質擴展至描述樹上梯度吉布斯測度？
• RQ2 週期性邊界定律在構造樹自同構不變梯度吉布斯測度中扮演何種角色？
• RQ3 能否透過在週期環境中具有隨機漫步邊際分佈的 pinned 測度混合來構造梯度吉布斯測度？
• RQ4 mod-q 狀態上的模糊轉換如何與梯度模型中的相關性衰減及不變測度產生關聯？
• RQ5 為何整數直線上層依賴鏈的混合無法產生吉布斯測度？這對樹模型有何啟示？

主要发现

• 本文透過混合 pinned 測度（其邊際分佈為在 q-週期環境中的隨機漫步）構造出一大類樹自同構不變的梯度吉布斯測度。
• 由 mod-q 模糊轉換所產生的有限狀態馬可夫鏈的不變測度，控制了相關性衰減，並促成 GGMs 的構造。
• 即使在標準吉布斯測度不存在的情況下，這些 GGMs 依然存在，特別是在如 2D 離散高斯自由場之類的去局域化區域。
• 所構造的 GGMs 並非任何吉布斯測度的投影，因此處於傳統吉布斯框架之外。
• 在一維整數直線上，層依賴鏈的混合不具吉布斯性，因為遠端鍵的條件機率會收斂至 1，違反擬局部性。
• 本理論將 Zachary 的邊界定律對應關係擴展至非可歸一化、週期性邊界定律，使原本難以處理的情況得以描述。