[论文解读] Gradings, smash products and Galois coverings of a small category

Claude Cibils, John MacQuarrie|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文建立了一套范畴论框架，通过群胚分次和 smash 积构造法，系统地构建小连通范畴的伽罗瓦覆盖。证明了范畴 𝔅 的伽罗瓦覆盖范畴与它的基本群胚 Q𝔅 的有效分次范畴等价，从而可通过 smash 积显式构造其普遍覆盖，并以 Cayley 图给出具体实例。

ABSTRACT

In this paper we develop the theory of coverings of a small connected category B. We show that the category of Galois coverings of B is equivalent to the category of Galois coverings of its fundamental groupoid. Making use of effective gradings of B we explicitly construct Galois coverings through a smash product analogous to the one considered in the linear case. In particular, the universal cover of B can be obtained from its fundamental groupoid.

研究动机与目标

• 发展小连通范畴的覆盖理论，扩展域上线性范畴的相关概念。
• 将范畴 𝔅 的伽罗瓦覆盖与其基本群胚 Q𝔅 的伽罗瓦覆盖联系起来，证明两个范畴等价。
• 基于有效分次，通过 smash 积构造法显式构造伽罗瓦覆盖。
• 将范畴的普遍覆盖表征为基于其基本群胚的 smash 积。
• 展示如何利用自由群的 Cayley 图描述具有两个对象及任意对象间态射的范畴的普遍覆盖。

提出的方法

• 使用分式范畴 Q𝔅 构造小范畴 𝔅 的基本群胚，其同构于任意对象处的基本群。
• 将群胚分次定义为从 𝔅 到群胚的函子，推广了 k-范畴中线性群分次的概念。
• 引入 smash 积构造法作为余积范畴，从群胚分次生成 𝔅 的覆盖。
• 证明：由分次生成的覆盖是连通的，当且仅当该分次通过一个满函子因式分解为 Q𝔅（称为有效分次）。
• 利用 Q𝔅 的普遍性质，证明当分次为有效且普遍时，smash 积构造法给出普遍覆盖。
• 利用自由群的 Cayley 图几何描述具有两个对象及任意态射的范畴的普遍覆盖。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用如分次等代数结构，系统地构造小范畴的伽罗瓦覆盖？
• RQ2 小范畴的伽罗瓦覆盖与其基本群胚的伽罗瓦覆盖之间存在何种精确关系？
• RQ3 在何种条件下，群胚分次能生成一个连通覆盖？
• RQ4 如何通过范畴构造显式描述小范畴的普遍覆盖？
• RQ5 Cayley 图在可视化和构造范畴的普遍覆盖中起什么作用？

主要发现

• 小连通范畴 𝔅 的伽罗瓦覆盖范畴与它的基本群胚 Q𝔅 的伽罗瓦覆盖范畴等价。
• 每一个 𝔅 的伽罗瓦覆盖都同构于某个自由群作用下的轨道范畴，从而具有典范形式。
• 基于有效分次的 smash 积构造生成 𝔅 的伽罗瓦覆盖，且所有此类覆盖均由此方式产生。
• 基本群胚 Q𝔅 本身即为一种有效分次，且 smash 积 𝔅#_{b₀}Q𝔅 给出 𝔅 的普遍覆盖。
• 对于具有两个对象及从 x 到 x₀ 的态射集 E 的范畴 𝔐_E，其普遍覆盖是自由群 E∖{α} 的 Cayley 图的双重图，箭头标记为逆态射。
• 该构造表明，普遍覆盖不依赖于基对象的选择，且完全由基本群胚决定。