[论文解读] Gradual approximation of the domain of attraction by gradual extension of the "embryo" of the transformed optimal Lyapunov function

Éva Kaslik, A.M. Balint+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2002

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的迭代方法，用于逐步逼近自治解析常微分方程系统中渐近稳定平衡点的吸引域（DA）。该方法通过利用经变换的最优李雅普诺夫函数的自然解析域——基于级数展开与柯西-阿达马收敛性——逐步扩展DA估计，通过计算该函数的连续‘胚胎’，获得越来越精确的近似结果，相较于现有方法在基准多项式系统上的表现更优。

ABSTRACT

In this paper an autonomous analytical system of ordinary differential equations is considered. For an asymptotically stable steady state x0 of the system a gradual approximation of the domain of attraction DA is presented in the case when the matrix of the linearized system in x0 is diagonalizable. This technique is based on the gradual extension of the "embryo" of an analytic function of several complex variables. The analytic function is the transformed of a Lyapunov function whose natural domain of analyticity is the DA and which satisfies a linear non-homogeneous partial differential equation. The equation permits to establish an "embryo" of the transformed function and a first approximation of DA. The "embryo" is used for the determination of a new "embryo" and a new part of the DA. In this way, computing new "embryos" and new domains, the DA is gradually approximated. Numerical examples are given for polynomial systems. For systems considered recently in the literature the results are compared with those obtained with other methods.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于逼近自治解析常微分方程系统中渐近稳定平衡点的吸引域（DA）。
• 克服标准李雅普诺夫方法在DA估计中常导致保守或不完整近似的局限性。
• 利用变换后最优李雅普诺夫函数的自然解析域，作为吸引域的精确表征。
• 提供一种计算上可行的迭代过程，通过在每一步逐步优化函数的‘胚胎’，逐步扩展DA估计。
• 在已知DA的多项式系统上验证该方法，并与文献中现有方法的性能进行比较。

提出的方法

• 通过一个同构映射 S 对原系统进行变换，使平衡点处的雅可比矩阵对角化，从而得到新系统 g = S⁻¹∘f∘S。
• 将最优李雅普诺夫函数 V 变换为 W = V∘S，其满足一个线性非齐次偏微分方程：⟨∇W, g⟩ = -‖Sz‖²，且 W(0) = 0。
• 利用定理3递归计算 W 的泰勒级数系数，从二次项开始，高阶系数依赖于低阶系数。
• 通过柯西-阿达马公式确定 W 的级数收敛域 D⁰，初始 DA 估计为 DA⁰ = S(D⁰)。
• 通过将级数计算扩展至更高阶项，生成新的‘胚胎’，并迭代计算新的收敛域 Dᵏ，从而获得扩展的 DA 估计 DAᵏ = S(Dᵏ)。
• 该过程逐步重复，每次迭代通过分析更高阶项的收敛行为，向DA近似中增加新的区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过对变换后最优李雅普诺夫函数的解析延拓进行迭代优化，系统性地逼近渐近稳定平衡点的吸引域？
• RQ2 如何利用线性非齐次偏微分方程解的自然解析域来表征精确的吸引域？
• RQ3 与标准方法相比，变换后李雅普诺夫函数‘胚胎’的迭代扩展在多大程度上提升了DA估计的准确性？
• RQ4 该方法在具有已知或未知DA的多项式系统上的计算可行性与收敛行为如何？
• RQ5 与现有DA估计技术相比，该方法在覆盖范围与精度方面的表现如何？

主要发现

• 在示例1中，该方法在三步迭代后获得的DA估计与真实圆形吸引域高度吻合，边界被准确捕捉。
• 在示例2（3D系统）中，该方法在两步迭代后生成的DA估计显著扩展，且与真实双曲面边界高度接近。
• 在示例3（来自[10]的2D系统）中，四步估计覆盖的区域大于[10]中报告的估计，显示出更优的覆盖能力。
• 在示例4（3D系统）中，该方法在两步迭代后生成的DA估计比以往方法更广泛，且第一步估计已显示出有意义的扩展。
• 该方法的计算成本随高阶近似显著增加，如表1所示，示例2的第二步耗时14.7小时，表明精度与计算时间之间存在权衡。
• 迭代过程成功将DA估计扩展至初始收敛域之外，证实了该方法可通过逐步优化函数的解析结构，渐进逼近真实吸引域。