[论文解读] Graham-Witten's conformal invariant for closed four dimensional submanifolds

Yongbing Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文通过共形紧致爱因斯坦流形中极小曲面的体积重整化，推导出四维闭子流形上格雷厄姆-惠特恩共形不变量的显式表达式。它计算了极小曲面图在子流形上的渐近展开中的系数 $ u^{(4)} $，并识别出欧几里得环境空间中该不变量的临界点，从而得到诸如 $ \mathbb{S}^3(1)\times\mathbb{S}^1(r_2) $ 和 $ \mathbb{S}^2(1)\times\mathbb{S}^2(1) $ 等显式临界子流形及其对应的不变量取值。

ABSTRACT

It was proved by Graham and Witten in 1999 that conformal invariants of submanifolds can be obtained via volume renormalization of minimal surfaces in conformally compact Einstein manifolds. The conformal invariant of a submanifold $Σ$ is contained in the volume expansion of the minimal surface which is asymptotic to $Σ$ when the minimal surface approaches the conformaly infinity. In the paper we give the explicit expression of Graham-Witten's conformal invariant for closed four dimensional submanifolds and find critical points of the conformal invariant in the case of Euclidean ambient spaces.

研究动机与目标

• 推导共形紧致爱因斯坦流形中闭四维子流形的格雷厄姆-惠特恩共形不变量的显式公式。
• 计算极小曲面图在子流形上渐近展开中的系数 $ u^{(4)} $，该系数决定了共形不变量。
• 通过求解临界点方程，识别欧几里得环境空间中该共形不变量的临界点。
• 计算特定临界子流形（如半径不同的球面乘积）的共形不变量的显式取值。

提出的方法

• 将极小曲面 $ Y $ 的图形表示为 $ y^\alpha = u^\alpha(x,r) $，定义在 $ \Sigma \times [0,\epsilon) $ 上，并按定义函数 $ r $ 的幂次展开。
• 应用极小曲面方程，推导 $ n \geq 3 $ 时的系数 $ u^{(4)} $，涉及环境空间的第二基本形式、法向联络及曲率张量。
• 通过令共形不变量的变分为零，导出临界点方程 $ \mathcal{E} = 0 $，从而得到关于乘积球面半径的代数方程。
• 利用推导出的公式与对称性假设，显式计算各种乘积流形 $ \mathbb{S}^m(r_1) \times \cdots \times \mathbb{S}^1(r_k) $ 的共形不变量 $ \mathcal{L}_4 $。
• 使用曲率不变量如施豪滕张量 $ \overline{P} $、外尔张量 $ \overline{W} $ 和克里斯托费尔符号，将 $ u^{(4)} $ 表示为 $ \Sigma $ 上几何数据的函数。
• 分析当半径趋于零或无穷时 $ \mathcal{L}_4 $ 的渐近行为，表明其上、下均无界。

实验结果

研究问题

• RQ1 格雷厄姆-惠特恩共形不变量在闭四维子流形上的显式表达式如何用其内蕴与外蕴几何时数据表示？
• RQ2 极小曲面展开中的系数 $ u^{(4)} $ 如何用曲率与第二基本形式数据显式计算？
• RQ3 在欧几里得环境空间中，该共形不变量的临界子流形是什么？其几何与拓扑性质如何？
• RQ4 对于如 $ \mathbb{S}^3(1)\times\mathbb{S}^1(r_2) $ 和 $ \mathbb{S}^2(1)\times\mathbb{S}^2(1) $ 这类乘积流形，其共形不变量的显式取值是多少？
• RQ5 当子流形几何发生退化（如球面半径趋于零或无穷）时，共形不变量的行为如何？

主要发现

• 系数 $ u^{(4)} $ 显式计算为曲率与第二基本形式项的组合：$ 8n(n-2)u^{(4)} = \Delta^\perp H^\alpha + \cdots $，涉及法向拉普拉斯算子、施豪滕张量与外尔张量。
• 当 $ n=2 $ 时，对数系数 $ w_2 $ 为 $ w_2 = -\frac{1}{16}W $，其中 $ W^\alpha $ 是包含 $ H^\alpha $、$ A_{ij} $ 与 $ \overline{W}_{i\beta j\gamma} $ 的曲率表达式。
• 对于 $ \mathbb{S}^3(1)\times\mathbb{S}^1(r_2) $，共形不变量为 $ 2\pi^3 r_2 \left[ \frac{7}{16}(9 + \frac{1}{r_2^2})^2 - 27 - \frac{1}{r_2^4} \right] $，在 $ r_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} $ 时取值 $ \mathcal{L}_4 = 18\sqrt{3}\pi^3 $。
• 对于 $ \mathbb{S}^2(1)\times\mathbb{S}^2(1) $，不变量取值为 $ \mathcal{L}_4 = 96\pi^2 $，且当 $ r_2 \to 0 $ 或 $ r_2 \to \infty $ 时趋于 $ -\infty $。
• 对于 $ \mathbb{S}^2(1)\times\mathbb{S}^1(\frac{1}{\sqrt{2}})\times\mathbb{S}^1(\frac{1}{\sqrt{2}}) $，不变量为 $ \mathcal{L}_4 = 48\pi^3 $；对于 $ \mathbb{S}^2(1)\times\mathbb{S}^1(\frac{1}{\sqrt{2}})\times\mathbb{S}^1(\frac{3}{\sqrt{10}}) $，其值为 $ \frac{64\sqrt{5}}{3}\pi^3 $。
• 对于 $ \mathbb{S}^1(1)^4 $，不变量为 $ \mathcal{L}_4 = 24\pi^4 $；对于 $ \mathbb{S}^1(1)^3 \times \mathbb{S}^1(\frac{3}{\sqrt{5}}) $，其值为 $ \frac{32\sqrt{5}}{3}\pi^4 $，且随着半径变化，不变量无界。