[论文解读] Gramian-Based Model Reduction of Directed Networks

Xiaodong Cheng, Jacquelien M.A. Scherpen|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对弱连通有向网络系统的结构保持型模型降阶方法，利用伪 Gramian 矩阵量化顶点间的差异性并指导图聚类。通过为半稳定系统定义伪可控性和可观测性 Gramian 矩阵，并将其应用于 Petrov-Galerkin 框架，该方法生成的降阶模型保持了有向网络的拓扑结构，并确保近似误差有界，数值结果表明即使在低阶降阶下仍具有高精度。

ABSTRACT

This paper investigates a model reduction problem for linear directed network systems, in which the interconnections among the vertices are described by general weakly connected digraphs. First, the definitions of pseudo controllability and observability Gramians are proposed for semistable systems, and their solutions are characterized by Lyapunov-like equations. Then, we introduce a concept of vertex clusterability to guarantee the boundedness of the approximation error and use the newly proposed Gramians to facilitate the evaluation of the dissimilarity of each pair of vertices. An clustering algorithm is thereto provided to generate an appropriate graph clustering, whose characteristic matrix is employed as the projections in the Petrov-Galerkin reduction framework. The obtained reduced-order system preserves the weakly connected directed network structure, and the approximation error is computed by the pseudo Gramians. Finally, the efficiency of the proposed approach is illustrated by numerical examples.

研究动机与目标

• 为解决弱连通有向网络系统中缺乏结构保持型模型降阶方法的问题，这类系统在生物化学、生态学和工程系统中普遍存在。
• 开发一种聚类策略，通过引入顶点可聚类性的概念，确保近似误差有界。
• 利用源自半稳定系统 Lyapunov 类方程的伪 Gramian 矩阵量化顶点间的差异性。
• 通过 Petrov-Galerkin 框架中基于图聚类的投影，实现在降阶模型中保持有向网络结构。
• 在大规模有向网络（包括先前方法失效的非强连通情形）上展示该方法的效率与准确性。

提出的方法

• 为半稳定系统引入伪可控性和可观测性 Gramian 矩阵，其定义基于 Lyapunov 类方程的解。
• 将顶点可聚类性定义为确保模型降阶中近似误差有界的条件。
• 利用伪 Gramian 矩阵计算顶点间的成对差异性，量化其动态行为的差异。
• 基于差异性应用图聚类算法，将顶点聚类为簇，其聚类特征矩阵用作投影矩阵。
• 在 Petrov-Galerkin 框架中应用这些投影，推导出保持原始有向网络拉普拉斯结构的降阶模型。
• 使用定理 8 计算 $η_2$-范数近似误差以评估性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持网络结构的前提下，对弱连通有向网络系统进行模型降阶？
• RQ2 在有向网络系统中聚合顶点时，应采用何种标准以确保近似误差有界？
• RQ3 如何量化具有半稳定动态特性的有向网络中顶点间的差异性？
• RQ4 半稳定系统的伪 Gramian 矩阵能否有效用于指导模型降阶中的图聚类？
• RQ5 与仅基于输入的差异性或随机聚类相比，所提方法在近似精度方面表现如何？

主要发现

• 该方法在 735 个顶点的弱连通有向网络系统上，对 100 个顶点的降阶模型实现了 $η_2$-范数近似误差为 0.0011，表明其具有高精度。
• 随着降阶阶数的提高，近似误差迅速衰减，且该方法与基于输入差异性的方法均显著优于随机聚类。
• 计算时间的大部分（538.09 秒）用于求解伪 Gramian Lyapunov 方程，而聚类与差异性计算则快得多。
• 该方法在非强连通网络中依然有效，而先前依赖 Frobenius 特征向量的方法在此类系统中失效，这一点在 Harwell-Boeing 矩阵示例中得到验证。
• 降阶模型保持了有向网络结构，如图 7 所示，其降阶系统的拉普拉斯矩阵反映了原始拓扑结构。
• 该方法在使用标准求解器时对大规模网络仍具有计算可行性，尽管对于更大规模系统可采用 ADI 或 Krylov 方法。