[论文解读] Gramian-based reachability metrics for bilinear networks

Yingbo Zhao, Jorge Cortés|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Model Reduction and Neural Networks参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文针对离散时间双线性网络提出基于 Gramian 的可 reachability 指标，用于量化将系统状态从原点驱动至任意可达目标所需的最小输入能量。通过限制输入的无穷范数并利用可 reachability Gramian，作者推导出能量需求的下界，并表明影响互连结构的双线性输入，可依据网络结构和输入分布，既可保持也可显著改善可控性。

ABSTRACT

This paper studies Gramian-based reachability metrics for bilinear control systems. In the context of complex networks, bilinear systems capture scenarios where an actuator not only can affect the state of a node but also interconnections among nodes. Under the assumption that the input's infinity norm is bounded by some function of the network dynamic matrices, we derive a Gramian-based lower bound on the minimum input energy required to steer the state from the origin to any reachable target state. This result motivates our study of various objects associated to the reachability Gramian to quantify the ease of controllability of the bilinear network: the minimum eigenvalue (worst-case minimum input energy to reach a state), the trace (average minimum input energy to reach a state), and its determinant (volume of the ellipsoid containing the reachable states using control inputs with no more than unit energy). We establish an increasing returns property of the reachability Gramian as a function of the actuators, which in turn allows us to derive a general lower bound on the reachability metrics in terms of the aggregate contribution of the individual actuators. We conclude by examining the effect on the worst-case minimum input energy of the addition of bilinear inputs to difficult-to-control linear symmetric networks. We show that the bilinear networks resulting from the addition of either inputs at a finite number of interconnections or at all self loops with weight vanishing with the network scale remain difficult-to-control. Various examples illustrate our results.

研究动机与目标

• 开发超越二值可控性的双线性控制网络定量可 reachability 指标，通过测量输入能量需求。
• 解决线性控制模型的局限性，后者假设输入仅影响节点状态，而不影响节点间的互连。
• 研究双线性输入（可调制节点状态和互连强度）对复杂网络可控性的影响。
• 在输入范数有界的前提下，利用可 reachability Gramian 建立最小输入能量的理论下界。
• 分析双线性控制是否能克服大规模对称线性网络固有的控制难度。

提出的方法

• 为离散时间双线性系统定义可 reachability Gramian，并在输入的无穷范数受系统矩阵函数有界的前提下，推导出达到任意目标状态所需最小输入能量的下界。
• 基于 Gramian 提出三种可 reachability 指标：最小特征值（最坏情况能量）、迹（平均能量）和行列式（单位能量输入下可达状态的体积）。
• 建立可 reachability Gramian 关于执行器集合的超模性，从而基于单个执行器的贡献推导出指标的下界。
• 分析向线性对称网络中添加双线性输入的影响，特别关注自环调制和互连调制。
• 通过穷举搜索和数值示例评估不同执行器布置和输入配置的性能。
• 比较线性和双线性网络在网络规模增大时的行为，以评估可控性的可扩展性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用可 reachability Gramian 对双线性网络中达到目标状态所需的最小输入能量进行界定？
• RQ2 在对称线性网络中，添加调制互连的双线性输入对最坏情况最小输入能量有何影响？
• RQ3 通过双线性输入对自环进行有界调制，能否改善大规模对称线性网络的可控性？
• RQ4 在何种条件下，双线性控制相比线性控制能显著降低所需输入能量？
• RQ5 可 reachability 指标（Gramian 的最小特征值、迹、行列式）如何随网络规模和执行器配置变化？

主要发现

• 在线性对称线性网络中，可 reachability Gramian 的最小特征值随网络规模呈指数下降，表明最坏情况控制能量呈指数增长。
• 添加调制有限个自环（权重有界）的双线性输入，无法降低最坏情况控制能量；此类网络仍难以控制。
• 当双线性输入以恒定强度调制越来越多的互连（如所有相邻对）时，Gramian 的最小特征值随网络规模增加保持恒定，表明可控性得以保持或改善。
• 若双线性输入以非消失强度调制无限多个互连，可使原本难以控制的线性网络变得容易控制，如 Gramian 的最小特征值在不断增加的网络规模下保持恒定所示。
• 可 reachability Gramian 关于执行器集合表现出超模性，从而可基于单个执行器的总贡献推导出可 reachability 指标的下界。
• 可 reachability Gramian 的行列式量化了单位能量输入下可达集合的体积，为可控性提供了几何解释。