[论文解读] Graph and String Parameters: Connections Between Pathwidth, Cutwidth and the Locality Number

Katrin Casel, Joel D. Day+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Algorithms and Data Compression参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文通过归约技术建立了字符串参数局部性数与图参数删顶点宽度（cutwidth）和路径宽度（pathwidth）之间的新联系。证明了计算局部性数是NP难的，但当以局部性数或字母表大小为参数时是固定参数可追踪的（fixed-parameter tractable），并提出了一个 O(√(log(opt) log(n)))-近似算法，同时实现了从删顶点宽度到路径宽度的近似保持归约，显著改进了多重图的近似比。

ABSTRACT

We investigate the locality number, a recently introduced structural parameter for strings (with applications in pattern matching with variables), and its connection to two important graph-parameters, cutwidth and pathwidth. These connections allow us to show that computing the locality number is NP-hard but fixed-parameter tractable (when the locality number or the alphabet size is treated as a parameter), and can be approximated with ratio O(sqrt{log{opt}} log n). As a by-product, we also relate cutwidth via the locality number to pathwidth, which is of independent interest, since it improves the best currently known approximation algorithm for cutwidth. In addition to these main results, we also consider the possibility of greedy-based approximation algorithms for the locality number.

研究动机与目标

• 为字符串模式匹配中局部性数计算复杂性的开放问题提供解决方案。
• 建立局部性数与删顶点宽度、路径宽度等经典图参数之间的正式联系。
• 通过从路径宽度归约，开发局部性数和删顶点宽度的近似算法。
• 当以局部性数或字母表大小为参数时，提供计算局部性数的固定参数可追踪算法。
• 通过使现有路径宽度和删顶点宽度算法可用于计算局部性数，展示其实际应用潜力。

提出的方法

• 通过使用团展开（clique expansions）将字符串转换为图，将局部性数问题归约为路径宽度。
• 应用已知的从路径宽度到删顶点宽度的归约，建立从路径宽度到删顶点宽度的近似保持映射。
• 使用 pd-标记方案（pd-marking scheme）在变换后的图中模拟路径分解，保持宽度界限。
• 采用两阶段归约：首先从局部性数归约为路径宽度，然后从路径宽度归约为删顶点宽度，同时保持近似比。
• 利用现有的路径宽度近似算法（例如 O(√(log(opt) log n)) 和 O(tw√log tw))），推导出删顶点宽度的新近似比。
• 证明：任何针对路径宽度的 r(opt, |V|)-近似算法，可导出针对多重图中删顶点宽度的 2r(2opt, h)-近似算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 计算局部性数是否为NP难？当以局部性数或字母表大小为参数时，是否可在固定参数可追踪时间内求解？
• RQ2 局部性数能否在非平凡比值内被近似？最佳可能的近似比是多少？
• RQ3 局部性数与删顶点宽度、路径宽度等经典图参数之间存在何种关系？
• RQ4 能否利用现有的路径宽度近似算法，推导出删顶点宽度和局部性数的新近似算法？
• RQ5 是否存在一种从删顶点宽度到路径宽度的近似保持归约，且能保持多项式近似比？

主要发现

• 计算局部性数是NP难的，但当以局部性数或字母表大小为参数时是固定参数可追踪的，解决了文献中的开放问题。
• 局部性数存在一个 O(√(log(opt) log(n)))-近似算法，这是该参数首次获得非平凡近似比。
• 建立了从删顶点宽度到路径宽度的近似保持归约，表明任何针对路径宽度的 r(opt, |V|)-近似算法，可导出针对多重图中删顶点宽度的 2r(2opt, h)-近似算法。
• 针对具有 h 条边的多重图，获得了 O(√(log(opt) log(h)))-近似算法，优于先前已知的近似比。
• 基于路径宽度的 O(tw√log tw)-近似算法，推导出针对多重图中 MinCutwidth 的 O(√(log(opt) opt))-近似算法。
• 所提出的归约具有实用性，能够将现有路径宽度和删顶点宽度算法适配用于计算局部性数，具备实际部署潜力。