[论文解读] Graph Automorphism and Topological Characterization of Synthetic and Natural Complex Networks by Information Content.

Héctor Zenil, Fernando Soler Toscano+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2013

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 3

一句话总结

本文提出使用柯尔莫哥洛夫复杂度近似方法——通过无损压缩和块分解法（BDM）——对图邻接矩阵进行分析，以表征合成网络与自然网络的算法随机性及自同构群结构。研究发现，无标度（Barabasi-Albert）和小世界（Watts-Strogatz）网络的算法复杂度低于埃拉德-雷尼随机图，揭示了网络生成机制与算法信息论之间的关联。

ABSTRACT

We show that numerical approximations of Kolmogorov complexity (K) applied to graph adjacency matrices capture some group-theoretic and topological properties of graphs and empirical networks ranging from metabolic to social networks. That K and the size of the group of automorphisms of a graph are correlated opens up interesting connections to problems in computational geometry, and thus connects several measures and concepts from complexity science. We show that approximations of K characterise synthetic and natural networks by their generating mechanisms, assigning lower algorithmic randomness to complex network models (Watts-Strogatz and Barabasi-Albert networks) and high Kolmogorov complexity to (random) Erdos-Renyi graphs. We derive these results via two different Kolmogorov complexity approximation methods applied to the adjacency matrices of the graphs and networks. The methods used are the traditional lossless compression approach to Kolmogorov complexity, and a normalised version of a Block Decomposition Method (BDM) measure, based on algorithmic probability theory.

研究动机与目标

• 探究柯尔莫哥洛夫复杂度的数值近似方法是否能够捕捉复杂网络的群论性质与拓扑性质。
• 考察图的算法复杂度与自同构群大小之间的关系。
• 基于算法随机性，对合成网络（Watts-Strogatz、Barabasi-Albert、Erdos-Renyi）和实证网络（代谢、社交）进行表征。
• 比较两种柯尔莫哥洛夫复杂度近似方法——无损压缩与归一化BDM——在邻接矩阵上的有效性。
• 探索算法复杂度、网络生成机制与计算几何概念之间的联系。

提出的方法

• 将无损压缩算法应用于邻接矩阵，作为柯尔莫哥洛夫复杂度（K）的代理。
• 基于算法概率理论，使用一种归一化的块分解法（BDM）从邻接矩阵估计K。
• 计算每张图的自同构群大小，以与算法复杂度估计值进行关联。
• 使用两种K近似方法分析合成网络（Watts-Strogatz、Barabasi-Albert、Erdos-Renyi）和实证网络（代谢、社交）。
• 通过两种复杂度估计技术，比较网络的算法随机性与其底层生成机制之间的关系。
• 采用信息论度量方法，将结构对称性（自同构）与算法复杂度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 柯尔莫哥洛夫复杂度近似方法与图的自同构群大小之间有何相关性？
• RQ2 算法复杂度能否区分具有不同生成机制的网络模型（例如，优先连接与随机重布线）？
• RQ3 像Watts-Strogatz和Barabasi-Albert这样的合成网络是否表现出低于Erdos-Renyi随机图的算法随机性？
• RQ4 在图邻接矩阵上，无损压缩与归一化BDM在估计算法复杂度方面有何比较优势？
• RQ5 在现实世界复杂网络中，拓扑结构与算法信息含量之间存在何种关系？

主要发现

• 通过优先连接机制（Barabasi-Albert）和小世界机制（Watts-Strogatz）生成的合成网络，其算法复杂度低于Erdos-Renyi随机图。
• Erdos-Renyi随机图被赋予更高的柯尔莫哥洛夫复杂度，表明其具有更高的算法随机性。
• 两种柯尔莫哥洛夫复杂度近似方法——无损压缩与归一化BDM——在各类网络中结果一致。
• 观察到自同构群大小与图的估计算法复杂度之间存在强烈相关性。
• 结果表明，算法复杂度可作为识别复杂网络生成机制的判别性度量。
• 本研究建立了算法信息论与网络对称性等群论性质之间的联系。