[论文解读] Graph-based Logic and Sketches

Atish Bagchi, Charles Wells|ArXiv.org|Sep 18, 2008

Data Visualization and Analytics参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文引入基于图的逻辑作为纲要与形式的范畴证明理论，通过范畴论构造中的分解，将等式逻辑推广。它为有限极限纲要建立了可靠性和完备性，并通过基于构造空间和图表的统一句法框架，证明了多 sorted 等式逻辑与有限积纲要之间的等价性。

ABSTRACT

We present the basic ideas of forms (a generalization of Ehresmann's sketches) and their theories and models, more explicitly than in previous expositions. Forms provide the ability to specify mathematical structures and data types in any appropriate category, including many types of structures (e.g. function spaces) that cannot be specified by sketches. We also outline a new kind of formal logic (based on graphs instead of strings of symbols) that gives an intrinsically categorial definition of assertion and proof for each type of form. This formal logic is new to this monograph. The relationship between multisorted equational logic and finite product theories is worked out in detail.

研究动机与目标

• 开发一种针对纲要与形式的统一证明理论，以解决基于纲要的规格说明中缺乏证明理论的问题。
• 通过引入形式作为更广泛框架，推广埃赫雷曼的纲要，以建模传统纲要无法表达的结构。
• 使用图表推理和范畴中的分解，提供断言与证明的范畴内固有定义。
• 通过句法范畴的构造，建立等式逻辑与有限积纲要之间的对应关系。
• 通过教条推广，探索基于图的逻辑与其他逻辑系统（包括类型理论和λ演算）之间的联系。

提出的方法

• 基于从有限极限纲要导出的范畴中的态射和分解，构建一种形式逻辑，使用图表和锥作为句法元素。
• 将形式定义为使用构造空间的纲要的推广，其中模型是保持指定极限和锥的函子。
• 引入句法范畴 $\mathop{\mathsf{SynCat}}\nolimits[\mathop{\mathsfb{E}}\nolimits, \mathop{\mathsfi{F}}\nolimits]$，作为给定构造空间中项和等式的范畴。
• 通过证明可推导的断言恰好对应于句法范畴中的分解，建立基于图的逻辑的可靠性和完备性。
• 使用递归和直接定义的代换，证明在纲要中不同项解释构造之间的等价性。
• 将该框架应用于表明，等式逻辑的所有定理均可作为有限积纲要的句法范畴中的实际分解实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以范畴内固有的方式，为纲要与形式开发一种统一的证明理论，以推广等式逻辑？
• RQ2 形式与传统纲要之间的关系是什么？在何种意义上形式是其恰当推广？
• RQ3 等式逻辑中的推理规则能否被纲要导出的句法范畴中的图表分解完全捕捉？
• RQ4 基于图的逻辑中的代换构造如何与等式理论中的标准句法操作相关联？
• RQ5 通过教条推广，基于图的逻辑在多大程度上可扩展至其他逻辑系统，如类型λ-演算或直觉类型理论？

主要发现

• 基于图的逻辑为有限极限纲要提供了一个可靠且完备的证明系统，可推导的断言恰好对应于句法范畴中的分解。
• 句法范畴 $\mathop{\mathsf{SynCat}}\nolimits[\mathop{\mathsfb{E}}\nolimits, \mathop{\mathsfi{F}}\nolimits]$ 的构造将多 sorted 等式逻辑的所有定理实现为范畴中的实际分解。
• 形式通过存在不是任何纲要的模型范畴的形式模型范畴，推广了纲要，证明了对纲要框架的真正扩展。
• 构造空间的构造规则对应于 $\mathop{\mathsfb{FinLim}}\nolimits$ 中的箭头，表明句法操作背后存在更深层次的范畴结构。
• 该方法建立了一个猜想：对于任何逻辑理论 $L$ 的可靠且完备的演绎系统，其与句法范畴 $\mathop{\mathsf{CatTh}}\nolimits[\mathop{\mathsfi{E}}\nolimits_L, \mathop{\mathsfi{F}}\nolimits]$ 中的分解系统之间存在等价关系，其中 $\mathop{\mathsfi{E}}\nolimits_L$ 是 $L$ 的模型教条。
• 该框架允许超越有限极限的推广，暗示其在上下文敏感语法、歧义句法以及通过 enriched 范畴或通用纲要定义的同构结构方面具有潜在应用。